Konvergenz/Divergenz von Folgen

Question

konvergiert oder divergiert diese Folge irgendwo hin?

a_n = (x/n)ⁿ (n+2x)ⁿ (1/n +1/x)ⁿ

mit x ungleich 0

wenn ich n gegen unendlich laufen lasse geht der 1. und 3. Term gegen 0. Nur der zweite Term geht gegen +unendlich.

Da 0 * etwas = 0 ist, würde ich schlussfolgern, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

Stimmt das?

und wie sieht dass bei der Folge aus:

a_n = (-1- x/n)ⁿ

da x/n gegen null geht, bleibt nur (-1)ⁿ übrig.

Konvergiert diese Folge gegen +1, -1 oder gar nicht?

Answer 1

Die Aufgabe scheint darauf abzuzielen, den folgenden Grenzwert zu benutzen:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac tn\right)^n = e^t$$

Jetzt musst du nur noch den Folgenterm entsprechend umformen:

$$a_n = \frac{x^n}{n^n}\cdot n^n\left(1+\frac{2x}n\right)^n\cdot \frac 1{x^n}\left(\frac xn + 1\right)^n$$

Jetzt darfst du gern selber kürzen.

Du solltest $e^{3x}$ herausbekommen.

Ergänzung zur 2. Folge:

$a_n = (-1)^n\underbrace{\left( 1 +\frac xn \right)^n}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}e^x}$

Damit finden wir zwei Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten. Setze dazu für $k\in\mathbb N$:

$\displaystyle n_k=2k \Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = e^x$

$\displaystyle n_k=2k-1 \Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = -e^x$

Also ist die Folge divergent.

Comments

Dankeschön

Die Folge ist damit gelöst

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Hats du auch einen Ansatz füe die andere Folge?

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@Marv1234
Ich hab in der Antwort etwas zur 2. Folge ergänzt.

Answer 2

Hallo

0*oo=0 ist meist falsch das kann man also nicht benutzen., denk etwa an n*1/n oder

multipliziere den ersten Faktor in die Klammer!

letzt Klammer: was wenn 0<x<1  ebenso in der ersten ausmultiplizierten Klammer

also mach ne Fallunterscheidung für x

Gruß lul

Comments

wenn ich alle Klammern ausmultipliziere erhalte ich (3nx + 2x² +n²)/n² und alles noch hoch n. Wenn ich jetzt n² ausklammere fallen doch die x weg da n im Nenner steht und gegen unendlich geht und damit der jeweilige Bruch gegen 0 geht. dann bleibt nur 1 /nⁿ übrig. Damit konvergiert doch die Folge gegen 0.

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Hallo

du hast nicht ausmult. aber ich hatte auch besser reinmult, geschrieben

(x/n)ⁿ (n+2x)ⁿ=(x+2/n)ⁿ

aber translocation hat den besseren tip .

lul

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Man könnte n ausklammern gemäß Potenzgesetz.

Führte das auch ans Ziel?