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konvergiert oder divergiert diese Folge irgendwo hin?


a_n = (x/n)n (n+2x)n (1/n +1/x)n


mit x ungleich 0


wenn ich n gegen unendlich laufen lasse geht der 1. und 3. Term gegen 0. Nur der zweite Term geht gegen +unendlich.


Da 0 * etwas = 0 ist, würde ich schlussfolgern, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

Stimmt das?



und wie sieht dass bei der Folge aus:


a_n = (-1- x/n)n

da x/n gegen null geht, bleibt nur (-1)n übrig.

Konvergiert diese Folge gegen +1, -1 oder gar nicht?

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2 Antworten

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Beste Antwort

Die Aufgabe scheint darauf abzuzielen, den folgenden Grenzwert zu benutzen:
limn(1+tn)n=et\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac tn\right)^n = e^t

Jetzt musst du nur noch den Folgenterm entsprechend umformen:

an=xnnnnn(1+2xn)n1xn(xn+1)na_n = \frac{x^n}{n^n}\cdot n^n\left(1+\frac{2x}n\right)^n\cdot \frac 1{x^n}\left(\frac xn + 1\right)^n

Jetzt darfst du gern selber kürzen.

Du solltest e3xe^{3x} herausbekommen.


Ergänzung zur 2. Folge:

an=(1)n(1+xn)nnexa_n = (-1)^n\underbrace{\left( 1 +\frac xn \right)^n}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}e^x}

Damit finden wir zwei Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten. Setze dazu für kNk\in\mathbb N:

nk=2klimkank=ex\displaystyle n_k=2k \Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = e^x

nk=2k1limkank=ex\displaystyle n_k=2k-1 \Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = -e^x

Also ist die Folge divergent.

Avatar von 12 k

Dankeschön


Die Folge ist damit gelöst

Hats du auch einen Ansatz füe die andere Folge?

@Marv1234
Ich hab in der Antwort etwas zur 2. Folge ergänzt.

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Hallo

0*oo=0 ist meist falsch das kann man also nicht benutzen., denk etwa an n*1/n oder

multipliziere den ersten Faktor in die Klammer!

letzt Klammer: was wenn 0<x<1  ebenso in der ersten ausmultiplizierten Klammer

also mach ne Fallunterscheidung für x

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

wenn ich alle Klammern ausmultipliziere erhalte ich (3nx + 2x2 +n2)/n2 und alles noch hoch n. Wenn ich jetzt n2 ausklammere fallen doch die x weg da n im Nenner steht und gegen unendlich geht und damit der jeweilige Bruch gegen 0 geht. dann bleibt nur 1 /nn übrig. Damit konvergiert doch die Folge gegen 0.

Hallo

du hast nicht ausmult. aber ich hatte auch besser reinmult, geschrieben

(x/n)n (n+2x)n=(x+2/n)n

aber translocation hat den besseren tip .

lul

Man könnte n ausklammern gemäß Potenzgesetz.

Führte das auch ans Ziel?

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