Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus beweisen

Question

Aufgabe:

Seien (G,⊕) und (H,⊙) zwei Gruppen und φ: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Das neutrale Element von G sei e_G, das neutrale Element von H sei e_H. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften.
(i) Ist V ⊆ H eine Untergruppe, so ist φ^-1 (V ) eine Untergruppe von G.

(ii) Das Bild φ(G) ist eine Untergruppe von H.
(iii) Die Abbildung φ ist genau dann injektiv, wenn φ^-1({eh}) = {e_G}

Problem/Ansatz:

. Im Tutorium haben wir die Eigenschaften :

φ(e_G)= e_H

Für alle g ∈ G gilt φ(-g)=-φ(g). Dabei ist links das Inverse in G und rechts das Inverse in H gemeint.

Diese sollen wir als Hilfe nehmen.

In meinem Kopf ergeben vor allem die Aussagen i) und ii) mit den Urbildern, Bildern und Untergruppen direkt einen Sinn. Jedoch weiß ich irgendwie nicht wie ich das ganze umsetzen soll. Danke im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

(i) Sei V ⊆ H eine Untergruppe. Dann gilt e_H ∈ V

und wegen φ(e_G)= e_H ist also e_G ∈  φ^-1 (V ).

Bleibt zu zeigen (Untergruppenkriterium), dass für

alle x∈ φ^-1 (V ) auch -x∈ φ^-1 (V ) gilt.

Sei also x∈ φ^-1 (V ). Dann gibt es y∈V mit φ(x)=y.

Da V eine Gruppe ist, gilt auch y^-1 ∈V und

damit φ^-1(y^-1) ∈  φ^-1 (V ) .

Also y⊙y^-1 = e_H  ==>  φ(x)⊙y^-1 = e_H .

Also ist y^-1 das Rechtsinverse von φ(x) in H

und damit φ^-1(y^-1) das Rechtsinverse von x in G

also φ^-1(y^-1) = -x . Mit y^-1⊙y = e_H analog

für die Linksinversen.