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Gegeben ist ein Gruppenhomomorphismus f:G->G' und eine Untergruppe U von G'.

Zu zeigen ist, dass das Urbild f-1(U) wieder eine Untergruppe ist. 

 

Mein Plan war die Charakteristik zu verwenden, dass I. f-1(U)≠{ }, II. ∀x∈f-1(U) folgt x-1∈f-1(U) und III. ∀x,y∈f-1(U) x*y ∈f-1(U)

 

I.und III. habe ich auch schon ohne Probleme bewiesen, aber II reizt mich. Mein Ansatz bis jetzt ist, dass wenn x∈f-1(U) ist folgt, dass f(x)∈U und da U eine Gruppe ist, gilt auch f(x)-1∈U. Wie haben bewiesen, dass f(eG)=eG' und ich weiß ja, dass eG'= f(x)*f(x)-1, aber hier komme ich nicht mehr weiter.

 

Einfach die Gruppenhomomorphie ausnutzen und alles zusammen ziehen, funktioniert nicht richtig, weil wir noch nicht gezeigt haben, dass f(x)-1=f(x-1). Und wenn ich die Definition von Urbild hier richtig verstanden habe, muss ja x nicht unbedingt aus G sein (oder?), weil mehrere Elemente auf G' abbilden können und so stecke ich irgendwie.

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