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Aufgabe:

Die nebenstehende Fläche im Würfel mit Kante 1 wird aufgespannt durch zur yz-Ebene parallele Strecken, deren Endpunkte einerseits auf der eingezeichneten Flächendiagonalen und anderseits auf einer Parabel in der xz-Ebene mit Scheitelpunkt (1/0/0) durch den Punkt (0/0/1) liegen.
In welchem Verhältnis wird das Volumen des Würfels durch diese Fläche geteilt?


nebenstehende Fläche:


IMG_6633.jpeg

Text erkannt:

b)

Ansatz:

Da wir im Unterricht das Berechnen von Volumen anhand des Integrals der Querschnittsflächen hatten, dachte ich, dass dies eine solche Aufgabe war. Aber ich konnte diese Aufgabe irgendwie nicht lösen/verstehen.

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Integrals der Querschnittsflächen

solltest du in der Tat ausführen.
Zeichne eine solche (parallel zur y-z-Ebene) mal ein, für ihre Oberkante ist das ja bereits erfolgt.

2 Antworten

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Beste Antwort

∫ (0 bis 1) (1/2·(x^2 + x)) dx = 5/12

Damit ist das Volumen über dieser Fläche 7/12 und das Verhältnis der Volumen zueinander 5:7.

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Sollte lul eine Integration über Schnittflächen in y-Richtung im Sinn gehabt haben

blob.png  

so ist für y=0 die Fläche unter der Parabel A(0) = 1/3 und für y=1 die Fläche unter der Geraden A(1)=1/2 zu berücksichtigen und der lineare Verlauf zwischen diesen ergibt das untere Volumen durch Betrachtung des Trapezes

blob.png

V = 1/2*(1/3 + 1/2) = 5/12

@ dzuma : Falls du die Antwort abschreiben willst, solltest du als Integrandenfunktion nicht 1/2(x^2+x) wie MC sondern besser 1/2(x^2-3x+2) nehmen

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Du musst die Fläche parametrisieren.  für y=0 hast du z=(x-1)^2 für y=1 hat du y=1-x dazwischen ist y=p(1-y)+q*y mit p=(x-1)^2, q=1-x

Gruß lul

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dazwischen ist y=p(1-y)+q*y

Für Leute wie mich, die nicht auf Anhieb ohne Rechnung erkennen, dass die Schnittflächen parallel zur x-z-Ebene linear mit y zunehmen, wäre ein entsprechendes Argument hilfreich.

Hallo

die Geraden sind eingezeichnet, sonst wüsste ich das auch nicht.

lul

Nochmaliges Überdenken hat mich auch zu der Überzeugung gebracht, dass keine tiefere Begründung möglich / nötig ist.

Wahrscheinlich war ich zu sehr mit meinem eigenen Ansatz (den ich allerdings immer noch für den einfachsten halte) befasst, der eine Integration von Trapezen in u-Richtung vorsah :

A(u).png

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