:Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K mit \operatorname{dim} V=2 n für n \in \mathbb{N} .

Question

Aufgabe:Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ mit $\operatorname{dim} V=2 n$ für $n \in \mathbb{N}$.
1. Gegeben sei ein $n$-dimensionaler Untervektorraum $U_{1} \subseteq V$. Es sei $U_{2} \subseteq V$ ein Komplement von $U_{1}$ in $V$. Zeigen Sie, dass es einen Untervektorraum $U_{3} \subseteq V$ gibt, der sowohl zu $U_{1}$ als auch zu $U_{2}$ komplementär ist.
2. Es sei $U_{1} \subseteq V$ ein Untervektorraum mit $\operatorname{dim} U_{1} \neq n$, und es seien $U_{2}, U_{3} \subseteq V$ zwei Komplemente zu $U_{1}$ in $V$. Zeigen Sie, dass $U_{3}$ kein Komplement zu $U_{2}$ in $V$ ist. (Hinweis: Betrachten Sie die Dimensionen der Vektorräume $U_{2}$ und $\left.U_{3}.\right)$

Problem/Ansatz: Kann mir bitte jemand hier weiterhelfen, ich brauche dringende Hilfe.

Comments

Zur a): Nimm mal (sehr ungentlemanlike) eine Basis $(v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_n)$ von jeweils $U_1,U_2$. Dass $U_1,U_2$ Komplemente zueinander sind bedeutet genau, dass $(v_1,\ldots,v_n,w_1,\ldots,w_n)$ eine Basis von $V$ ist. Nach dem Weißnichtwiederheißtsatz ist jetzt auch $(v_1,\ldots,v_n,w_1+v_1,\ldots,w_n+v_n)$ eine Basis von $V$. Also ist $U_3=\mathrm{Span}(w_1+v_1,\ldots,w_n+v_n)$ ein Komplement von $U_1$. Wenn du das genau andersrum machst, siehst du, dass $U_3$ auch ein Komplement zu $U_2$ ist.

b) Zwei Komplemente $U_2,U_3$ des gleichen Unterraums $U_1$ müssen gleiche Dimension haben, nämlich irgendein $k\neq n$, da ja $k=2n-\mathrm{dim}(U_1)$ gelten muss. Jetzt gucken wir uns mal die zwei Eigenschaften des Komplements an:

1. Es gilt $U_2\cap U_3=\emptyset$?

2. Es gilt $U_2+U_3=V$?

Jetzt mach mal die Fallunterscheidung $\mathrm{dim}(U_1)\lessgtr n$. Du siehst, dass im ersten Fall das eine, im zweiten Fall das andere kaputtgehen wird.