Parameterdarstellung von Schnitt

Question

ich suche nach einer Parametrisierung von dem Schnitt der Fläche $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ = 4z und der Ebene 3x -4z + 8 = 0

Man kann $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ = 3x + 8 setzen. Ich habe noch für z, z = $\sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}}$

Wenn ich dieses z dann in $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ = 4z einsetze, komme ich auf 8+3x = 4 * $\sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}}$

Dies mit aufgelöster Wurzel liefert nun 25$x^{2}$+102x+16$y^{2}$-64=0 was mir auch nicht wirklich was bringt?

Wie finde ich hiervon eine Parameterdarstellung?

Comments

x(t)=1,6*cos(t) , y(t)=2*sin(t) , z(t)=2+1,2*cos(t) , 0 ≤ t < 2π

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Ich habe für 25$x^{2}$+102x+16$y^{2}$-64=0 noch rausbekommen, dass x=0 und y=±2 ist

Wie bist du auf deine Werte gekommen?

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@Mathe... Prüfe nochmal, was mit dem x-Term bei Deiner Umformung passiert.

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Wir haben 3x + 8 = $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ = 4z

z =$\sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}}$

3x + 8 = 4 * $\sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}}$ | wir quadrieren

$(3x+8)^{2}$ = 16 * (8 - $x^{2}+3x-y^{2}$ )

9$x^{2}$+48x+64 = -16$x^{2}$+48x-16$y^{2}$+128

25$x^{2}$+16$y^{2}$-64=0

So sollte es nun stimmen, richtig?

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Die Parametrisierung lautet nun:

γ(t) = ($\frac{8}{5}$*r*cos(t), 2*r*sin(t), z) mit r ∈ [0,1] und t∈[0,2π] 

Stimmt das?

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Wenn Du 2 Flächen schneidest, was sollte dann das Ergebnis sein (Fläche, Kurve)?

Was soll mit z sein?

Lies bitte die gegebenen Kommentare

Answer 1

Aloha :)

Die erste Fläche ist die Oberfläche einer Kugel:$$x^2+y^2+z^2=4z\implies x^2+y^2+(z^2-4z+\pink4)=\pink4\implies$$$$F\colon\; x^2+y^2+(z-2)^2=4$$Die Kugel hat den Mittelpunkt $M(0|0|2)$ und den Radius $r=2$.

Die zweite Fläche ist eine Ebene:$$3x-4z+8=0\implies 4z=3x+8\implies z=\frac34x+2\implies$$$$E\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\frac34x+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+\frac {5x}{4}\begin{pmatrix}\frac45\\0\\\frac35\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Die Ebene geht durch den Mittelpunkt $M(0;0;2)$ der Kugel.

Der Schnitt beider Flächen ist also ein Kreis mit Mittelpunkt $M(0;0;2)$ und Radius $r=2$. Die beiden Richtungsvektoren der Ebene $E$ haben wir bereits ortho-normiert angegeben, sodass wir den Schnittkreis wie folgt beschreiben können:$$K\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+2\cos\varphi\cdot\begin{pmatrix}\frac45\\0\\\frac35\end{pmatrix}+2\sin\varphi\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Oder kürzer geschrieben:$$K\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\frac25\begin{pmatrix}4\cos\varphi\\5\sin\varphi\\5+3\cos\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Comments

Vielen Dank, Tschakabumba

Answer 2

Wenn 25$x^{2}$+102x+16$y^{2}$-64=0 stimmt,

dann kannst du umformen:

  $25 x^{2} +102x+16 y^{2} -64=0$

$25 x^{2} +102x+16 y^{2} = 64$ 

$25 (x^{2} +\frac{102}{25}x) +16 y^{2} = 64$

$25 (x^{2} +\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625}-\frac{2601}{625}) +16 y^{2} = 64$

$25 (x^{2} +\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625}) -\frac{2601}{25} +16 y^{2} = 64$

$25 (x^{2} +\frac{51}{25})^2 -\frac{2601}{25} +16 y^{2} = 64$

$25 (x^{2} +\frac{51}{25})^2 +16 y^{2} = \frac{4201}{25}$

$\frac{625}{4201} (x^{2} +\frac{51}{25})^2 +\frac{400}{4201} y^{2} =1$

$\frac{(x^{2} +\frac{51}{25})^2}{\frac{4201}{625} } +\frac{y^2}{\frac{4201}{400}} =1$

Das ist also eine Ellipse mit Mittelpunkt $(-\frac{51}{25} ; 0)$.

(Rechne mal lieber nach !)

Und dann Parametergleichung in Anlehnung an https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

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Sorry, habe es vergessen in die Frage zu packen.

Für 25$x^{2}$+102x+16$y^{2}$-64=0 habe ich noch rausbekommen, dass x=0 und y=±2 ist