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Ich habe versucht von einer Formel die Fehlerfortpflanzungsformel zu bilden, aber bin mir nicht sicher, ob sie richtig ist.
Vielleicht könnte jemand hier das überprüfen und mir gegebenenfalls sagen, was ich falsch gemacht habe.
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Text erkannt:

\( \begin{array}{c}v=\frac{\left(v_{P} \div v_{S}\right)^{2}-2}{2 \cdot\left(\left(v_{P}+v_{S}\right)^{2}-1\right)} \\ \Delta v=\left|\frac{v_{S}^{2} \cdot v_{P}}{\left(v_{P}^{2}-v_{S}^{2}\right)^{2}}\right| \cdot \Delta v_{P}+\left|-\frac{v_{P}^{2} \cdot v_{S}}{\left(v_{S}^{2}-v_{P}^{2}\right)^{2}}\right| \cdot \Delta v_{S}\end{array} \)

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Welche Formel hast Du denn benutzt?

Ich habe versucht Partielle Differentiation anzuwenden. Also dass ich meine Formel erst nach v_P ableite, das dann mal den Fehler von v_P und dann plus die Ableitung nach v_S mal Fehler von v_S

Aloha :)

Im ersten Schritt würde ich die Formel ersmtal vereinfachen:$$\nu=\frac{(\nu_p+\nu_s)^2\pink{-2}}{2\cdot\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)}=\frac{\left((\nu_p+\nu_s)^2\pink{-1}\right)\pink{-1}}{2\cdot\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)}=\frac12-\frac12\cdot\frac{1}{(\nu_p+\nu_s)^2-1}$$

Anschließend würde ich die partiellen Ableitungen bilden, wobei man tatsächlich nur eine zu berechnen braucht und die andere wegen der Symmetrie geschenkt bekommt (Du kannst in der Formel die beiden Variablen \(\nu_p\) und \(\nu_s\) vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert):

$$\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}=-\frac12\left(\frac{\overbrace{1}^{=u}}{\underbrace{(\nu_p+\nu_s)^2-1}_{=v}}\right)'=-\frac12\cdot\frac{\overbrace{0}^{=u'}\cdot\overbrace{\left({(\nu_p+\nu_s)^2-1}\right)}^{=v}-\overbrace{1}^{=u}\cdot\overbrace{\left({2(\nu_p+\nu_s)\cdot1}\right)}^{=v'}}{\underbrace{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}_{=v^2}}$$

Das kann man im Kopf zusammenfassen:$$\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}=\frac{\nu_p+\nu_s}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}\quad;\quad \frac{\partial\nu}{\partial\nu_s}=\frac{\nu_p+\nu_s}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}=\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}$$

Der Größtfehler ist daher:$$\Delta\nu_{\text{max}}=\left|\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}\right|\cdot\Delta\nu_p+\left|\frac{\partial\nu}{\partial\nu_s}\right|\cdot\Delta\nu_s=\frac{\left|\,\nu_p+\nu_s\,\right|}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}\cdot\left(\Delta\nu_p+\Delta\nu_s\right)$$

Der Fehler gemäß der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung wäre:$$\Delta\nu=\sqrt{\left(\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}\cdot\Delta\nu_p\right)^2+\left(\frac{\partial\nu}{\partial\nu_s}\cdot\Delta\nu_s\right)^2}=\frac{\left|\,\nu_p+\nu_s\,\right|}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}\cdot\sqrt{(\Delta\nu_p)^2+(\Delta\nu_s)^2}$$

Was ist das für eine Operation zwischen v_s und v_p??

Addition / Division?

Ich gehe von Division aus - weil dann die Lösung des FS fast richtig ist (s.u.).

Wenn man genau hinschaut, ist es \(\div\) und nicht \(+\).

Das ist doch gar nicht die gefragte Frage?? Wofür gibt es dann die "Daumen"??

Ja genau Division sowohl im Zähler als auch im Nenner, entschuldigt die Bildqualität

1 Antwort

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Wenn ich es richtig verstehe, hast Du linearisiert. Dann komme ich auch auf dasselbe Ergebnis mit der Ausnahme, dass ich im ersten Zähler \(v_pv_s^3\) erhalte.

Ich habe die Kettenregel mit \(f(x)=\frac{x^2-2}{2(x^2-1)}\) mit \(x=\frac{v_p}{v_s}\) benutzt.

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