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Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren in R3 \mathbb{R}^{3} :
v1=(210),v2=(110),v3=(011).\mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\1 \\0\end{array}\right), \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\-1 \\0\end{array}\right), \mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\1 \\1\end{array}\right) .

Es sei Ui=vi U_{i}=\left\langle\mathbf{v}_{i}\right\rangle für i=1,2,3 i=1,2,3 .
1. Bestimmen Sie UiHomR(R3,R) U_{i}^{\perp} \subseteq \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right) für i=1,2,3 i=1,2,3 .
2. Finden Sie eine Abbildung fHomR(R3,R) f \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right) sodass f(v1)=1,f(v2)=f(v3)=0 f\left(\mathbf{v}_{1}\right)=1, f\left(\mathbf{v}_{2}\right)=f\left(\mathbf{v}_{3}\right)=0 . Schreiben Sie f f als 1×3 1 \times 3 -Matrix (Zeilenvektor) bezüglich der Standardbasis.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht was Hom heißt und wieso da eine lineare Hülle vorkommt. Auch verstehe ich nicht, was überhaupt von mir verlangt wird. Kann mir jemand weiterhelfen?

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1.

Du suchst die Orthogonalräume der Vektoren v1 bis v3. Das heißt eine Basis aller Vektoren, die zum gegebenen Vektor orthogonal sind.

U1=span{(120),(001)} U_{1}^{\perp} = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

U2=span{(110),(001)} U_{2}^{\perp} = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

U3=span{(011),(100)} U_{3}^{\perp} = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}

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Danke dir! Ist das richtig so wie ich es letztendlich verstanden und hingeschrieben hab?LinA1 Blatt 7_240615_161635.jpg

Text erkannt:

Aufgabe 1
u2={V : ((u))=0uU}f(vi)=0f(x)=wv fu¨r alle xR3f(vi)=0wvi=0 Rremerudur  \begin{array}{l} u^{2}=\left\{\ell \in V^{*}:((u))=0 \forall u \in U\right\} \\ f\left(v_{i}\right)=0 \quad f(x)=w \cdot v \text { für alle } x \in \mathbb{R}^{3} \\ f\left(v_{i}\right)=0 \Leftrightarrow w \cdot v_{i}=0 \text { Rremerudur } \end{array}
guact Baris aller Vectheen, die rum gey. Vethor athogomal sind.
(1) U1 : v1=(210) U_{1}^{\perp}: v_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)
Für ω=(abc)U1 \omega=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right) \in U_{1}^{\perp} muss gelhen:
wvn=0(abc)(210)=2a+b=0(a2ac)(210)=2a2a=0abs : U1={(a2ac);a,cR} Bamin U1=gan{(12a),(01)} \begin{array}{l} w \cdot v_{n}=0 \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=2 a+b=0 \\ \left(\begin{array}{c} a \\ -2 a \\ c \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=2 a-2 a=0 \quad a b s: \\ U_{1}^{\perp}=\left\{\left(\begin{array}{c} a \\ -2 a \\ c \end{array}\right) ; a, c \in \mathbb{R}\right\} \\ \text { Bamin } U_{1}^{\perp}=\operatorname{gan}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ -2 \\ a \end{array}\right),\binom{0}{1}\right\} \end{array}
(2) U2 : v2=(110) U_{2}^{\perp}: v_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)
wv2=0(abc)(1a)=ab=0(aa),(1aa)=aa=0u2+={aa) : a,cR} \begin{array}{l} w \cdot v_{2}=0 \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \cdot\binom{1}{a}=a-b=0 \\ \rightarrow\binom{a}{a},\left(\begin{array}{l} 1 \\ a \\ a \end{array}\right)=a-a=0 \\ \left.u_{2}^{+}=\left\{\begin{array}{l} a \\ a \end{array}\right): a, c \in \mathbb{R}\right\} \end{array}

Daris U2 : sen{(110),(01)} U_{2}^{*}: \operatorname{sen}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)\right\}

u31 : v3=(01)(abc)(011)=b+c=0(a06011)=bb=0u3={(ab) : a,bR} \begin{array}{l} u_{3}^{1}: v_{3}=\binom{0}{1} \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=b+c=0 \\ \rightarrow\left(\begin{array}{l} a \\ 0 \\ -6 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=b-b=0 \\ u_{3}^{-}=\left\{\binom{a}{-b}: a, b \in R\right\} \end{array}

Dasis U32 : yan{((01),(100)} U_{3}^{2}: \operatorname{yan}\left\{\left(\binom{0}{1},\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\}\right.

Danke dir! Ist das richtig so wie ich es letztendlich verstanden und hingeschrieben hab?

Ja. Das kannst du so hinschreiben. Und ich denke 2. ist auch nicht so schwierig.

LinA1 Blatt 7_240615_174121.jpg

Text erkannt:

Auppobe 1.2
(a1a2a3)(v311)/(v21110v3 upl  \left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} v_{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) /\left(\begin{array}{c} v_{2} \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} v_{3}\right. \text { upl }

Gegeten sei folgende Mahis:
f=(aaa) woli aR(aaa(014)=(a+a)=(000)r(aaa(110)=(a+a)=(000)v z :  f(v1)=1(aaa(210) Sei a=13 : ((13)(13)13)(210)=(23+13)=1 \begin{array}{l} f=\left(\begin{array}{lll} -a & -a & a \end{array}\right) \text { woli } a \in \mathbb{R} \\ \left(\begin{array}{lll} -a & -a & a \end{array} \cdot \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)=(-a+a)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) r\right. \\ \left(-a-a \quad a \left\lvert\, \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)=(-a+a)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) v\right.\right. \\ \text { z: } f\left(v_{1}\right)=1 \\ \left(-a-a \quad a \left\lvert\, \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right.\right. \\ \text { Sei } a=-\frac{1}{3}: \\ \left(-\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{-3}\right) \frac{1}{3}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)=1 \end{array}

Die gesuctse Matix fo laulet alro:
f=(131313) f=\left(\begin{array}{lll} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right)

So habe ich die 2 gelöst, einfach stumpf lgs gelöst und überprüft ob es klappt. Ist das formal richtig aufgeschrieben oder muss ich es anders aufschreiben? Diese Aufgabe wird bei mir bewertet, deswegen frage ich zur mal Sicherheit.

Du suchst eine Matrix, welche folgende Bedingungen erfüllt:

[a, b, c]·[2, 1, 0] = 1
[a, b, c]·[1, -1, 0] = 0
[a, b, c]·[0, 1, 1] = 0

Das ergibt das LGS

2·a + b = 1
a - b = 0
b + c = 0

Und damit die Lösung

a = 1/3 ∧ b = 1/3 ∧ c = - 1/3

Bei dir finde ich bereits gewöhnungsbedürftig das du gleich mit einer Matrix [-a, -a, a] beginnst. Das ergibt sich doch anhand der Bedingungen nachher automatisch.

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HomK(V,W)\operatorname{Hom}_K(V,W) ist die Menge der Homomorphismen vom KK-Vektorraum VV in den KK-Vektorraum WW.

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Eine lineare Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper. Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet. Gleiches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkörper.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

Ok danke euch und wie mache ich weiter?

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