Hier hilft ein kleiner Trick weiter.
Ich berechne nur die Stammfunktion und geb das Ergebnis an. Die Grenzen einsetzen kannst du sicher selbst:
I=∫(x2+1)21dx=∫(x2+1)2x2+1−x2dx=...
...=∫(x2+1)1dx−∫(x2+1)2x2dx=...
...=arctanx−21⋅=I1∫x(x2+1)22xdx
Jetzt berechnest du I1 mit partieller Integration und erhältst:
I1=−x2+1x+∫1⋅x2+11dx=−x2+1x+arctanx
Damit erhältst du insgesamt:
I=21arctanx+21⋅x2+1x
Grenzen einsetzen ergibt:
∫0∞(x2+1)21dx=4π