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Aufgabe: 20240617_083411.jpg

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Ballonflug
Ein Heißluftballon steigt, vom Winde getrieben, längs der Geraden g auf, wobei er nur in der Höhe gesteuert werden kann. Die Erdoberfläche liegt in der x\( y \)-Ebene. Eine Längeneinheitentspricht \( 100 \mathrm{~m} \).
a) Ermitteln Sie den Startpunkt S des Ballons sowie den Punkt A, in dem der Ballon \( 400 \mathrm{~m} \) Höhe erreicht.
b) Ab dem Punkt A fliegt der Ballon gleichbleibend in \( 400 \mathrm{~m} \) Höhe weiter. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden \( \mathrm{h} \) für die neue Flugbahn sowie den Winkel \( \alpha \) der Kursänderung.
c) Die Vorderseite einer Nebelwand wird durch die Ebene E: \( 4 x-2 y-5 z=-52 \) beschrieben. Berechnen Sie, in welchem Punkt \( \mathrm{N} \) der Ballon beim Weiterflug längs der Geraden \( \mathrm{h} \) auf die Nebelwand treffen würde.
d) Im Punkt B (-2|7|4) geht der Ballonkapitän in einen Sinkflug über, der nur die Höhe ändert und parallel zur Nebelwand verläuft. Ermitteln Sie die Geradengleichung k der neuen Flugbahn und den Landeplatz \( \mathrm{L} \) des Ballons.
e) Berechnen Sie die direkte Entfernung zwischen Startplatz S und Landeplatz L sowie die tatsächliche Länge der Flugroute


Problem/Ansatz: Hallo entschuldigt bitte das erste Goto ich habe keine Ahnung wie ich es entfernen kann, ich habe aus Versehen drauf gedrückt. Mein Problem ist, dass ich von der Aufgabe nichts hinbekomme und morgen schreibe ich eine Klausur und das kommt definitiv dran

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Ich habe das erste Goto entgernt.

Das war sehr greundlich von Dir.

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Hier meine Ergebnisse als Vergleich.

a)

S = [12, 0, 0]

A = [4, 4, 4]

b)

h: X = [4, 4, 4] + r·[-2, 1, 0]

α = 24.09°

c)

N = [-4, 8, 4]

d)

k: X = [-2, 7, 4] + r·[-2, 1, -1.2]

L = [-26/3, 31/3, 0]

e)

|SL| = 2311 m

|SA| + |AB| + |BL| = 2497 m

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Vielen Dank eigentlich war die d am schwierigsten weil ich nicht verstehe wie ich die Gerade als parallele zur Ebene darstellen kann ich habe für z minus zwei raus

Vielen Dank eigentlich war die d am schwierigsten weil ich nicht verstehe wie ich die Gerade als parallele zur Ebene darstellen kann ich habe für z minus zwei raus

Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt Null ergeben muss.

Rechne das mal nach. Da sollte -1.2 heraus kommen.

Aber ich kann auch mal einen Fehler machen.

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a) Setze den Punkt \(S(x|y|0)\) in die Gerade ein und bestimme mit Hilfe der dritten Koordinate den Parameter. Berechne damit die fehlenden Koordinaten. Dasselbe machst du mit dem Punkt \(A(x|y|4)\) (Punktprobe).

b) Der neue Stützvektor ist der Ortsvektor von \(A\) und die Richtung ist ähnlich wie die der Geraden \(g\), nur, dass sich die Höhe nicht mehr ändert. Es ist also \(z\) im Richtungsvektor gleich 0. Wende die Formel für Winkel auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden an.

c) Bestimmen den Schnittpunkt von \(h\) und \(E\), indem du die Gerade in die Ebene einsetzt und damit den Parameter der Geraden bestimmst. Damit lässt sich dann der Schnittpunkt ermitteln.

d) Ortsvektor von \(B\) als Stützvektor. Richtungsvektor wie \(h\) nur mit anderer \(z\)-Koordinate aber orthogonal zum Normalenvektor der Ebene, aufgrund der Parallelität. Den Normalenvektor kann man bei der Ebene sofort ablesen. Die Orthogonalität weist man mit dem Skalarprodukt zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor nach. Damit lässt sich dann die \(z\)-Koordinate des Richtungsvektors bestimmen. Den Landepunkt berechnet man wie in a). Setze den Punkt \(L(x|y|0)\) in die neue Flugbahn ein.

e) Berechne die Längen der Verbindungsvektoren zwischen den einzelnen Punkten, also \(\overrightarrow{SL}\) sowie für die Flugbahn \(\overrightarrow{SA}\), \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BL}\). Die Formel für die Länge ist dir sicherlich bekannt.

Wenn du Schwierigkeiten hast, frag gerne nochmal nach.

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Die Erdoberfläche liegt in der xy-Ebene.

Bestimme den Wert des Parameters, so dass die z-Koordinate des Ballons den Wert 0 hat.

Ermitteln Sie den Startpunkt S des Ballons

Setze den oben bestimmten Wert des Parameters in die Geradengleichung ein.

sowie den Punkt A, in dem der Ballon \( 400 \mathrm{~m} \) Höhe erreicht.

Bestimme die passende z-Koordinate des Ballons. Dann weiter wie bei der Bestimmung von \(S\).

Ab dem Punkt A fliegt der Ballon gleichbleibend in 400 m Höhe weiter.

Neuer Stützvektor ist der Ortsvektor von \(A\). Den Richtungsvektor bekommst du indem du in dem Richtungsvektor von \(g\) die dritte Komponente durch 0 ersetzt.

Winkel α der Kursänderung.

Das ist der Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren hast du eine Formel gelernt.

in welchem Punkt \( \mathrm{N} \) der Ballon beim Weiterflug längs der Geraden \( \mathrm{h} \) auf die Nebelwand treffen würde.

Schnittpunkt Gerade-Ebene bestimmen.

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Danke aber ich brauche Lösung sodass ich meine Ergebnisse damit vergleichen kann

Eben noch "nichts hinbekommen" und jetzt hast Du Ergebnisse, super. Dann lad die mal hoch, dann kann man schauen, ob's passt oder noch was fehlt.

Hauptsache man lässt die Leute erst einmal ausführliche Antworten schreiben anstatt gleich zu sagen, dass man schon Ergebnisse hat... Ich zweifle einfach mal an der Aussage.

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