Erstellen einer Kugelgleichung mit vier vorgegebenen Punkten?

Question

Bestimme die Gleichung der Kugel K welche  die Punkte A, B, C und D enthält.
A (2/10/4)
B (4/8/6)
C (5/9/4)
D (0/-6/4)
ich weiß, dass ich dies durch das Gleichsetzungssystem berechnen muss, allerdings unterlaufen mir immer wieder Fehler...
jedoch komme ich nicht auf die Kugelgleichung

zur kontrolle [ r=9 ; M(1/2/0) ] ....diese Angeben dürfen allerdings nicht genutzt werden

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Geometrisch bekommst du nach der Elimination von r zu 3 mittelsenktrechten Ebenen von Verstrecken zweier dieser Punkte. Sie schneiden sich in M.

Answer 1

A (2/10/4), B (4/8/6), C (5/9/4), D (0/-6/4)

(x - 2)^2 + (y - 10)^2 + (z - 4)^2 = r^2
(x - 4)^2 + (y - 8)^2 + (z - 6)^2 = r^2
(x - 5)^2 + (y - 9)^2 + (z - 4)^2 = r^2
(x - 0)^2 + (y + 6)^2 + (z - 4)^2 = r^2

x^2 - 4·x + y^2 - 20·y + z^2 - 8·z + 120 = r^2
x^2 - 8·x + y^2 - 16·y + z^2 - 12·z + 116 = r^2
x^2 - 10·x + y^2 - 18·y + z^2 - 8·z + 122 = r^2
x^2 + y^2 + 12·y + z^2 - 8·z + 52 = r^2

I - II, I - III, I - IV

4·x - 4·y + 4·z + 4 = 0
6·x - 2·y - 2 = 0
- 4·x - 32·y + 68 = 0

Das ist ein LGS mit der Lösung x = 1 ∧ y = 2 ∧ z = 0

Damit hast du den Mittelpunkt. Den Radius Ausrechnen ist nicht schwer. Einfach den Abstand eines Punktes zum berechneten Mittelpunkt nehmen.

Comments

soweit habe ich auch schongerechnet, aber ih habe dann

4·x - 4·y + 4·z + 4 = 0
6·x - 2·y - 2 = 0
- 4·x - 32·y + 68 = 0 nach den variablen umstellen wollen um diese in die erste gleichung einzusetzten. dort hatte ich dann das problem..

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Ein paar Aufgaben habe ich hier vorgerechnet