Vektorfertige Funktion und Jacobi Matrix

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Aufgabe:

Vektorfertige Funktion, Jacobi Matrix:

Ein Rotationstorus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand rr haben, wobei 0<r<R0 < r < R ist. In kartesischen Koordinaten x, y, z mit der z-Achse als Rotationsachse und den Mittelpunkten des rotierenden Kreises in der xy-Ebene wird er durch die Gleichung (x2+y2−R)2+z2=r2(\sqrt{x^2 + y^2} -R)^2 + z^2 = r^2
beschrieben.

Torus kann wie folgt parametrisiert werden:

Φ : R3→[0,r]×[0,2π]×[0,2π]⊂R3\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow [0, r] \times [0, 2\pi]\times [0, 2\pi] \subset \mathbb{R}^3

Φ(s,ψ,φ)=((R+ssin⁡ψ)cos⁡φ(R+ssin⁡ψ)sin⁡φscos⁡ψ),0≤s≤r,  0≤ψ≤2π,  0≤φ≤2π.\Phi(s, \psi, \varphi) = \begin{pmatrix}(R + s \sin \psi)\cos \varphi \\(R + s \sin \psi) \sin \varphi \\s \cos \psi\end{pmatrix}, \quad 0 \leq s \leq r, \; 0 \leq \psi \leq 2\pi, \; 0 \leq \varphi \leq 2\pi.


i) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix für
ii) Berechnen Sie die Determinante der Jacobi-Matrix (Funktionaldeterminante)


Ich habe öfters Probleme Texte zu verstehen und daher bin ich mir nicht genau sicher ob meine Berechnungen so richtig sind, wie sie auch im Text gemeint sind.


Hier sind meine Berechnungen; Habe ich es so richtig verstanden ?IMG_4432.jpeg

Text erkannt:

Gegebene Parameter Φ(s,ψ,φ)=((R+ssin⁡ψ)cos⁡φ(R+ssin⁡ψ)sin⁡φscos⁡ψ) \Phi(s, \psi, \varphi)=\left(\begin{array}{c}(R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ (R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ s \cos \psi\end{array}\right)
0.2 Jacobi-Matrix
J=(∂Φ1∂s∂Φ1∂ψ2∂Φ1∂φ2∂Φ2∂s∂Φ2∂ψ3∂Φ2∂φ3∂Φ3∂s∂Φ3∂ψ∂Φ3∂φ) J=\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi_{2}} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi_{2}} \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi_{3}} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi_{3}} \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi} \end{array}\right)
0.3 Ableitungen
1. Φ1=(R+ssin⁡ψ)cos⁡φ \Phi_{1}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi
∂Φ1∂s=cos⁡φsin⁡ψ∂Φ1∂ψ=scos⁡φcos⁡ψ∂Φ1∂φ=−(R+ssin⁡ψ)sin⁡φ \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s}=\cos \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi}=s \cos \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi}=-(R+s \sin \psi) \sin \varphi \end{array}
2. Φ2=(R+ssin⁡ψ)sin⁡φ \Phi_{2}=(R+s \sin \psi) \sin \varphi
∂Φ2∂s=sin⁡φsin⁡ψ∂Φ2∂ψ=ssin⁡φcos⁡ψ∂Φ2∂φ=(R+ssin⁡ψ)cos⁡φ \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s}=\sin \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi}=s \sin \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi \end{array}
3. Φ3=scos⁡ψ \Phi_{3}=s \cos \psi
∂Φ3∂s=cos⁡ψ∂Φ3∂ψ=−ssin⁡ψ∂Φ3∂φ=0 \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s}=\cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi}=-s \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi}=0 \end{array}
0.4 Jacobi-Matrix
J=(cos⁡φsin⁡ψscos⁡φcos⁡ψ−(R+ssin⁡ψ)sin⁡φsin⁡φsin⁡ψssin⁡φcos⁡ψ(R+ssin⁡ψ)cos⁡φcos⁡ψ−ssin⁡ψ0) J=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \sin \psi & s \cos \varphi \cos \psi & -(R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ \sin \varphi \sin \psi & s \sin \varphi \cos \psi & (R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ \cos \psi & -s \sin \psi & 0 \end{array}\right)
0.5 Determinante Jacobi-Matrix
det⁡(J)=s(R+ssin⁡ψ) \operatorname{det}(J)=s(R+s \sin \psi)

Text erkannt:

0.1 Mein Rechenweg

Gegebene Parameter Φ(s,ψ,φ)=((R+ssin⁡ψ)cos⁡φ(R+ssin⁡ψ)sin⁡φscos⁡ψ) \Phi(s, \psi, \varphi)=\left(\begin{array}{c}(R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ (R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ s \cos \psi\end{array}\right)
0.2 Jacobi-Matrix
J=(∂Φ1∂s∂Φ1∂ψ∂Φ1∂φ1∂Φ2∂s∂Φ2∂ψ2∂Φ2∂φ1∂Φ3∂s∂Φ3∂ψ∂Φ3∂φ) J=\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi_{1}} \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi_{2}} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi_{1}} \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi} \end{array}\right)
0.3 Ableitungen
1. Φ1=(R+ssin⁡ψ)cos⁡φ \Phi_{1}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi
∂Φ1∂s=cos⁡φsin⁡ψ∂Φ1∂ψ=scos⁡φcos⁡ψ∂Φ1∂φ=−(R+ssin⁡ψ)sin⁡φ \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s}=\cos \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi}=s \cos \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi}=-(R+s \sin \psi) \sin \varphi \end{array}
2. Φ2=(R+ssin⁡ψ)sin⁡φ \Phi_{2}=(R+s \sin \psi) \sin \varphi
∂Φ2∂s=sin⁡φsin⁡ψ∂Φ2∂ψ=ssin⁡φcos⁡ψ∂Φ2∂φ=(R+ssin⁡ψ)cos⁡φ \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s}=\sin \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi}=s \sin \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi \end{array}
3. Φ3=scos⁡ψ \Phi_{3}=s \cos \psi
∂Φ3∂s=cos⁡ψ∂Φ3∂ψ=−ssin⁡ψ∂Φ3∂φ=0 \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s}=\cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi}=-s \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi}=0 \end{array}
1

Text erkannt:

0.4 Jacobi-Matrix
J=(cos⁡φsin⁡ψscos⁡φcos⁡ψ−(R+ssin⁡ψ)sin⁡φsin⁡φsin⁡ψssin⁡φcos⁡ψ(R+ssin⁡ψ)cos⁡φcos⁡ψ−ssin⁡ψ0) J=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \sin \psi & s \cos \varphi \cos \psi & -(R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ \sin \varphi \sin \psi & s \sin \varphi \cos \psi & (R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ \cos \psi & -s \sin \psi & 0 \end{array}\right)
0.5 Determinante Jacobi-Matrix
det⁡(J)=s(R+ssin⁡ψ) \operatorname{det}(J)=s(R+s \sin \psi)

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📘 Siehe "Vektorfeld" im Wiki

1 Antwort

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Aloha :)

Ich komme zu denselben Ergebnissen.

Du hast es nicht nur richtig verstanden, sondern auch alles richtig gerechnet.✓\quad\checkmark

Avatar von 153 k 🚀

Ok, das ist gut! Schön zu wissen. Danke

von

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