Bestimme den Wert a so, dass die Gerade g orthogonal zur Strecke AB verläuft.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte \( A(-2|1| 4) \) und \( B(1|4| 4) \) sowie die Gerade
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 5 \end{array}\right),(k \in \mathbb{R}) \)
a) Bestimme den Wert \( a \) so, dass die Gerade \( g \) orthogonal zur Strecke \( \overline{A B} \) verläuft.
b) Gib die Ebene \( E \) in Koordinatenform an, die die Punkte \( A \) und \( B \) enthält.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich a = -1 raus.

b) ist mir nicht klar: lch denke ich muß g aus Teil a) benutzen da 2 Punkte für eine eindeutige Ebene ja nicht reichen. g ist senkrecht zu AB, könnte aber doch trotzdem in der Ebene liegen oder aber auch senkrecht dazu. Was nehme ich hier an?

Answer 1

Hallo,

Bei a) habe ich a = -1 raus.

das ist richtig!

... da 2 Punkte für eine eindeutige Ebene ja nicht reichen.

das ist auch richtig. Die Aufgabe scheint ungenügend gestellt zu sein.

.. könnte aber doch trotzdem in der Ebene liegen

so wie die Punkt A und B liegen, kann das nicht sein, zumindest nicht mit \(a=-1\). Du kannst eine Ebene durch eine Gerade und einen Punkt definieren. Hier hast Du aber zwei Punkte.

... oder aber auch senkrecht dazu.

das wäre eine sinnvolle Variante.

Gruß Werner

Comments

Warum kann ich den Richtungsvektor von g nicht als zweiten Richtungsvektor der Ebene nehmen?

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Warum kann ich den Richtungsvektor von g nicht als zweiten Richtungsvektor der Ebene nehmen?

Das wäre eine weitere Variante, so liegt zwar \(g(a=-1)\) nicht in \(E\), aber \(g\) läge parallel zu \(E\).

Du brauchst noch eine weitere Bedingung um eine eindeutige Ebene \(E\) zu bestimmen. Wie diese Bedingung aussieht, ist egal.

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Man kann auch jeden anderen Vektor als RV nehmen, solange nicht kollinear zu \( \overrightarrow{AB} \). Aber warum so ein Aufwand, wenn man am Ende die Koordinatenform braucht...

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Ich habe Dir die Variante, die den Richtungsvektor von \(g\) benutzt, mal in Geoknecht3D eingegeben.Dann kannst Du Dir das besser vorstellen.

klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D. Wenn Du dann die Szene mit der Maus rotierst, dann bekommst Du einen räumlichen Eindruck.

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Du brauchst noch eine weitere Bedingung um eine eindeutige Ebene \(E\) zu bestimmen. Wie diese Bedingung aussieht, ist egal.

Ja, aber ich dachte die Lösung (Ebene) wäre eindeutig, so wie es formuliert war.

Das war eine Aufgabe aus der letzten Klausur, haben wir noch nicht zurück.

Answer 2

Es gibt nicht die Ebene bei Aufgabe b, weil nicht eindeutig. Allerdings liefert dir Aufgabe a) einen Normalenvektor der Ebene.