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Bei welchem Zinssatz ...

a)verdoppelt sich ein Kapital in 20 Jahren?

b)verdreifacht sich ein Kapital in 30 Jahren?

verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren?

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Merke dir die Zinseszinsformel:

K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t

mit

p : Zinssatz ( Beispiel: 5 % => p = 0,05 )

t : Anzahl der Zinsperioden

K ( 0 ) : Anfangskapital

K ( t ) : Kapital nach t Zinsperioden

Sie ist als Ansatz für alle Aufgaben, in denen exponentielles Wachstums oder Zerfall behandelt wird, ausgesprochen nützlich.

 

zu a)

Gefragt ist nach dem Zinssatz p in der sich ein Kapital K ( 0 )  in t = 20 Zinsperioden (hier: Jahren)  verdoppelt, bei dem also gilt: 

K ( t ) = 2 * K ( 0 )

Setzt man nun 2 * K ( 0 ) für K ( t ) in die Zinseszinsformel ein, so erhält man:

2 * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t

[Mit t = 20 ergibt sich:]

2 * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) 20

[Beide Seiten durch K ( 0 ) dividieren:]

<=> 2 = ( 1 + p ) 20

[Das Anfangskapital K ( 0 ) tritt in der Formel nicht mehr auf!. Das bedeutet: Der Zinssatz, bei dem sich ein Kapital nach t Zinsperioden verdoppelt hat, hängt nicht von der Höhe des Anfangskapitals ab.
Nun nach dem Zinssatz p auflösen:]

<=> 20√ 2 = 1 + p

<=> p = 20√ ( 2 ) - 1 ≈ 0,0353 = 3,53 %

 

zu b)

Allgemein gilt:

Der Zinssatz p, bei dem sich ein Kapital nach t Zinsperioden auf das k - fache vervielfacht, kann mit der Formel:

p = t√ ( k ) - 1

berechnet werden (siehe letzte Zeile der Antwort zu Teil a. Dort war t = 20 und k = 2 )

Damit kann man nun auch die nächsten beiden Aufgaben sofort lösen:

 

verdreifacht sich ein Kapital in 30 Jahren?

t = 30 , k = 3 , also:

p = 30√ ( 3 ) - 1 ≈ 0,0373 = 3,73 %

 

verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren?

t = 100 , k = 100 , also:

p = 100√ ( 100 ) - 1 ≈ 0,0471 = 4,71 %

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Hallo Johana,

 

würdest Du bitte auch auf die Rückfragen von Lu und mir auf Deine Aufgabe "Welche jährliche Abschreibung in Prozent hat diese Firma vorgenommen?" antworten ???

 

Bei welchem Zinssatz ...

a) verdoppelt sich ein Kapital in 20 Jahren?

x20 = 2 | 20. Wurzel

x ≈ 1,0352649238

Probe:

1,035264923820 ≈ 1,9999999984

Bei einem Zinssatz von ca. 3,53% p.a. verdoppelt sich ein Kapital in 20 Jahren.

 

b) verdreifacht sich ein Kapital in 30 Jahren?

Rechnung analog:

x30 = 3 | 30. Wurzel

x ≈ 1,0372991976

Probe:

1,037299197630 ≈ 3,0000000258

Bei einem Zinssatz von ca. 3,73% p.a. verdreifacht sich ein Kapital in 30 Jahren.

 

c) verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren?

Rechnung analog:

x100 = 100 | 100. Wurzel

x ≈ 1,0471285481

Probe:

1,0471285481100 ≈ 100,0000004689

Bei einem Zinssatz von ca. 4,71% p.a. verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren.

 

Besten Gruß

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Bei welchem Zinssatz ...

a) verdoppelt sich ein Kapital in 20 Jahren?

(1+p)^n = k
p = k^(1/n) - 1
p = 2^(1/20) - 1 = 3.53%

b) verdreifacht sich ein Kapital in 30 Jahren?

p = k^(1/n) - 1
p = 3^(1/30) - 1 = 3.73%

c) verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren?

p = k^(1/n) - 1
p = 100^(1/100) - 1 = 4.72%
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