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Aufgabe:

3-1/2e^-x=1/2x+2,5


Problem/Ansatz:

zuerst mit 2 multiplizieren

6-e^-x=x+5

Dann sortieren

1=e^-x+x

Oder vielleicht

e^-x+x-1=0

Substituieren?

Durch einen anderen Lösungsweg weiß ich, das x=0 ist

Das stimmt aber bei der Gleichung nicht.

Avatar vor von
Das stimmt aber bei der Gleichung nicht.

Wie meinst du das?

Natürlich stimmt es. 1+0-1=0

Allerdings hätte ich wohl nicht gesehen, dass diese Gleichung nur aufgeht, wenn x=0 ist

Das gilt ja auch im Allgemeinen nicht. Hier ist das eher ein "Glücksfall".

Was ich nicht bestreite, zumal ich in solchen Fälle dasselbe oft antworte wie du.

Manchmal geht auch Lambert, den aber kein Schüler:in kennt.

Falls du nachweisen willst, dass \(x=0\) die einzige Nullstelle ist, zeige, dass die
Funktion \(f(x)=\mathrm e^{-x}+x-1\) an eben dieser Stelle ein absolutes Minimum hat.

Danke für den Hinweis:

f '(x)= -e^(-x)+1

f ''(x) = e^(-x)

f '(x) = 0

e^(-x)= 1

x= 0

f ''(0) = 1 (>0)

->x =0 ist ein absolutes Minimum.

f ''(0) = 1 (>0)

->x =0 ist ein absolutes Minimum.

Das liefert erstmal nur ein relatives (lokales) Minimum.

Da es keine weiteren Extrema gibt, ist es zugleich das absolute.

3 Antworten

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Beste Antwort

Man sieht vielleicht mehr, wenn man so umformt: $$\begin{aligned} 3-\dfrac{1}{2}\cdot\textrm{e}^{-x}&=\dfrac{1}{2}\cdot x+2.5 \\ &\dots\\ \textrm{e}^{x}&=\dfrac{1}{1-x} \end{aligned}$$

Avatar vor von 26 k

Ich konnte folgen

1/e^x=1-x

1/e^x=(1-x)/1

Nun den Kehrwert

e^x=1/(1-x)

e^0=1 und nur 1/1 ist 1,also x=0

Es muss x=0 sein, wenn diese Gleichung aufgeht

Du siehst, ich bin ein Matheliebhaber, aber auf recht niederem Niveau



 $$e^{x}=\dfrac{1}{1-x} $$

lässt sich witzigerweise (einschränkend:für |x|<1) umformen in

\(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\cdots =1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots\)

bzw.

\(0=x^2(1-\frac{1}{2!})+x^3(1-\frac{1}{3!})+x^4(1-\frac{1}{4!})\cdots \),

was nach Ausklammern von x² die (doppelte?) Lösung x=0 sofort impliziert

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Im Allgemeinen lässt sich eine solche Gleichung nicht analytisch lösen. Nutze dafür ein numerisches Verfahren zur Lösung der Gleichung.

In diesem Fall kann man die Lösung natürlich durch "scharfes Hinsehen" finden, aber das funktioniert natürlich auch nicht immer.

Was manchmal funktioniert:

Die Lösung deiner Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Finden der Nullstelle von \(f(x)=1-\mathrm{e}^{-x}-x\). In diesem Fall kann man zeigen, dass an der Stelle \(x=0\) ein Maximum vorliegt mit dem Funktionswert \(f(x)=0\), so dass es außer \(x=0\) keine weiteren Nullstellen geben kann. Damit ist zumindest gesichert, dass 0 die einzige Lösung ist.

Zur numerischen Lösung: Wende das Newton-Verfahren auf \(f\) mit einem geeigneten Startwert an.

Avatar vor von 15 k

Wenn man Moliets wirklich mal brauchen könnte ist er nicht da.

Wenn man Moliets wirklich mal brauchen könnte ist er nicht da.

Wieso? Er hat doch andere Schwerpunkte? Oder worauf spielen Sie hier an?

Also ich habe den Gag verstanden.

worauf spielen Sie hier an?

Auf den Spezialisten für doppelte Nullstellen.
Darüber lässt sich nämlich gut die Eindeutigkeit der Lösung begründen.

Danke, das mit dem Maximum ist klar. Leider kann ich Newton Verfahren nicht, aber ich werde mich im Netz informieren. Vielen Dank an alle Antworter.

Ach so, verstehe. Ja, die liebt er auch. Und wie lautet die formal korrekte Begründung?

Danke, das mit dem Maximum ist klar. Leider kann ich Newton Verfahren nicht, aber ich werde mich im Netz informieren. Vielen Dank an alle Antworter.

Berechne in jedem Schritt \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\).

Ach so, verstehe. Ja, die liebt er auch. Und wie lautet die formal korrekte Begründung?

Hast du doch oben schon vorgerechnet, warum einem das hier weiterhilft...

So ist es, dass Ableitung nicht in jedem Fall das schlechteste Verfahren ist, wenn man doppelte Nullstellen finden will.

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Zahlen verrechnen

0,5- 1/2*e^(-x) = 0,5*x

e^(-x)= 1-0,5x

Jetzt erkennt man, dass x Null sein muss,

Avatar vor von 39 k
Hier geht das und zwar sehr leicht.

Es ist klar, dass es geht, wenn man die Gleichung abändert...

Kannst du mal die einzelnen Schritte genauer begründen?

Es ist klar, dass es geht, wenn man die Gleichung abände

Sorry, ich hatte das x vergessen. Ich habe es verbessert.

@ggT22: Das hatte der Frager aber schon besser und vor allem richtig umgeformt!

Wirklich leicht. Vielen Dank! Ich hab es verstanden. Ausrechnen, soweit wie möglich

e^-x=1

Nun ln, da fällt  links das e weg

-x=ln von 1 (ln1 =0)

x=0❤️

@jubel: Die ganze Antwort zeigt in erster Linie, wie man mit völlig falschen Umformungen auf jedes gewünschte Ergebnis kommen kann.

Vorsicht! Die Antwort wurde angepasst, weil die Gleichung falsch abgeschrieben wurde!

Nein, da war ich ausgetrixt. Die Gleichung war anders als meine. So wäre es leicht gewesen. Nun blicke ich doch nicht durch.

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