Beweisen Sie, dass f einen eindeutigen Fixpunkt besitzt

Question

Aufgabe:

Sei $(X, d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $f: X \rightarrow X$ eine Abbildung, für die eine natürliche Zahl $n$ existiert, sodass $f^{n}$ eine Kontraktion ist. Beweisen Sie, dass $f$ einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.

Problem/Ansatz:

Huhu, Ich bräuchte bei folgender Aufgabe mal eure Hilfe. Ich bin bei Beweisen leider immer total aufgeschmissen und weiß gar nicht, wo ich anfangen soll. Muss ich hierfür denn Banachschen Fixpunktsatz verwenden? Wäre über jede Hilfe dankbar :)  (Mir bringen Antworten wie „wo ist denn da das Problem“ leider nicht viel. Das Problem ist, dass ich gar nicht erst weiß wie ist starten soll)

Comments

Hast du hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Kontraktion_(Mathematik)

nachgelesen?

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Hi, die Definition einer Kontraktion kenne ich. Ich habe nur Schwierigkeiten, diese in Beweisen anzuwenden.

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Ist Dir klar, dass Du den Fixpunktsatz auf fⁿ anwenden kannst?

Dann bleibt zu zeigen, dass der eindeutige Fixpunkt von fⁿ auch ein Fixpunkt von f ist. Zeige dazu: Wenn z Fp von fⁿ ist, dann ist auch f(z) Fp von f^ n

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Eine mögliche Beweisstruktur deiner Aufgabe könnte in diese drei Teile gegliedert sein. Zu jedem der drei Teile musst du dir dann schlau etwas überlegen:

1. Es existiert ein eindeutiger Fixpunkt $\widehat{x}$ von $f^n$.

2. Dieser Fixpunkt ist auch ein Fixpunkt von $f$.

3. Der Fixpunkt $\widehat{x}$ ist der einzige Fixpunkt von $f$.

Für die 1. musst du Bekanntes aus der VL anwenden. Bei der 2. hat mathhilf dir einen sehr guten Tipp gegeben. Für die 3. kannst du verwenden, dass $f^n$ Kontraktion ist, also dass für alle $x_1,x_2\in X$ gilt: $d(x_1,x_2)\leq \lambda\cdot d(f^n(x_1),f^n(x_2))$, für ein fixes $0<\lambda<1$. Wieso kann es in Anbetracht dieser Ungleichung keine zwei Fixpunkte von $f$ geben?

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3. folgt auch, da sonst fⁿ ebenfalls zwei versch. Fixpunkte hätte (Was im Widerspruch zu 1. stände)