Matrix in Normalform transformieren

Question

Aufgabe:

(a) Es bezeichne $E_{r} \in \operatorname{Mat}_{r \times r}(\mathbb{R})$ die Einheitsmatrix. Führen Sie geeignete Basiswechsel durch, um die Matrix
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\-1 & 1 & 0\end{array}\right)$
in die Normalform
$\left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\0 & 0\end{array}\right)$
zu überführen.
(b) Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$, und $f: V \rightarrow V$ eine lineare Abbildung mit $\operatorname{dim}(\operatorname{im}(f))=r$. Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung $g: V \rightarrow V$ mit $\operatorname{dim}(\operatorname{im}(g))=n-r$ gibt, sodass $f+g$ ein Isomorphismus ist. (Hinweis: Wählen Sie geeignete Basen, sodass die Matrix für $f$ so einfach wie möglich wird.)

Problem/Ansatz:

zu (a): Wie geht man vor? Zunächst rang bestimmen (2) und dann? Ker benutzen und geeignete Basen auswählen stand im Hinweis, aber wie ich weiß nicht was ich für ein Ker brauche.

Comments

Bestimme eine Basis von Kern A und ergänze diese zu einer Basis von R³

Answer 1

Ich schreibe mal eine Lösung auf:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0& -1\\ 0& 1&-1 \\0 &0& 1\end{pmatrix}$$

Dabei bilden die Spalten der rechten Matrix eine Basis für $\R^3$ und die der linken Matrix eine Basis für $\R^2$

Comments

Hi ich verstehe die Lösung nicht, ich habe den kern ausgerechnet und der lautet (-1,-1,1) aber was mache ich jetzt? Ich verstehe gerade so was eine matrix jordan normalform ist und bisschen was ein Basiswechsel ist, kannst du mir erklären wie du vorgegangen bist?

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Naja, das Problem ist, dass es viele verschiedene Notationen gibt. Frage ist, wie Ihr das gemacht habt. Wenn ich nur den $\R^n$ (bzw. $\R^m$) betrachte, dann kann ich neben der Standardbasis ((1,0,...),(0,1,0,...),...) eine weitere Basis $(b_1,b_2, \ldots b_n)$ betrachten. Für jeden Vektor $x \in \R^n$ gibt es dann eindeutig bestimmte Koeffizienten $s_i \in \R$, so dass

$$x=\sum_{i=1}^ns_ib_i$$

Schreibt man die Basisvektoren als Spalten in einem Matrix B und die Koeffizienten in einen "Koordinatenvektor" s, dann steht da kurz $x=Bs$. Analog wählt man eine Basis $(c_1, \ldots c_m)$ für $\R^m$.

Wenn eine linear Abbildung durch eine $m \times n$-Matrix A gegeben ist, dann kann man diese folgendermaßen über die Koordinatenvektoren mit einer $m \times n$-Matrix M darstellen:

$$y=Ax \iff t=Ms\text{ mit }x=Bs,\quad y=Ct$$

Diese Matrix M wird dann auch darstellende Matrrix von A bezüglich der Basen B und C genannt - oder eben auch anders, anders bezeichnet ...

In der Aufgabe waren A und M gegeben, B und C waren zu bestimmen.

Schau mal in Dein Lehrmaterial, wie Ihr das erklärt habt ....

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Text erkannt:

§1 Basiswechuelmativen
1 Köper
Sei $V, W$ endiche ent. $K-V R$ und $f: V \rightarrow W$ lin. Abef.
Erimereng:
Wall ven Basen $v_{1}, \ldots, v_{n} v_{n} V$ und $w_{1}, \ldots, w_{n}$ von W
$\Rightarrow$ haben dasst. Matix Af $\in M_{m \times n}(K)$
Nun scien ander Basen $v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{n}^{\prime}$ wan $V$ und $w_{1}^{\prime}, \ldots, w_{n}^{\prime}$ won $W$ gwialll
$\Rightarrow \text { Behame } A^{\prime} f \in M_{m \times n}(K)$

Frage:
Wie haingen Afund Af uss?
Hube die sog. Bassuwechulmativen
$\begin{array}{l} S=\left(s_{j_{k}}\right) \in \mu_{n}(k), v_{k}=\sum \limits_{j=1}^{n} s_{j_{k}} v_{j}^{\prime} \\ T=\left(f_{j k}\right) \in \mu_{m}(k), w_{k}=\sum \limits_{j=1}^{n} q_{j k} x w_{j}^{\prime} \end{array}$
7 (shibbe diealle Basis inder.numen Bay $\mathrm{ma} / \mathrm{s}$

Offentew gill
(i) $S$ is die rugghäge $M a h_{i x}$ uu $V \stackrel{l}{ } V_{k, V_{n}}, V$,
$\Rightarrow S, T$ sind reguliar Mahicen (Kap II 33)
sean $S^{-1}$ und $T^{-1}$ die zu Sund $T$ ino. Maliven
$\left(s^{-1}\right)$

Text erkannt:

is gleich $T \cdot A g \cdot S^{-1}$, weeler nach $\boxplus 36$
$\Rightarrow A_{f}^{\prime}=T \cdot A_{f} \cdot S^{-1}$

Sperialfall
usd $V=W$ mil Bais $V_{1},-1$ in and ior $V_{i}^{\prime}$, ,., $V_{n}^{\prime}$ eine nere Basis, so exgibl rind $T=S$ and win enalten $A_{j}=S \cdot f \cdot S^{-1}$

Lerman 1
Multiplibatien siner Mahix mil einew rog. Mahie won reolls oburlinhls ändest micht den Rang dea tergangsmatix
Beweis
Sie $A=\mu_{m \times n}(K)$ die Aungengsmathix und $Z \in G L_{n}(K)$
Beh: $\operatorname{rg}(A \cdot Z)=r g(A)$, dem : siem $e_{1}^{\prime}, \ldots e_{n}^{\prime} \in K^{n}$ die fallionivon $Z$,
abro $e_{k}^{\prime}=\sum \limits_{j=1}^{n} z_{j} e_{j} \forall_{k}=1$, ,n

II $36 \Rightarrow$ die nug. Mahic
$=\operatorname{dim} \operatorname{in}\left(F_{A}\right)$
$=\operatorname{ng}(A)$
(hinhomint analog)
$\Rightarrow g(t \cdot 2)=g(A)$

Text erkannt:

Sath 2
In geg. f: $V \rightarrow W$ lassen sich Basen $V_{1},, V$ von $V$ und $w_{1}, w_{n}$ von $W$ wathen, salass $A g=\left(\begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l|l|l}E_{r} & \theta \\ \hline 0 & 0\end{array}\right)$ mil $r=\operatorname{dim} \operatorname{im}(f)$
Beweis
$r=$ dim inilf). Dam is offenber $n-r=\operatorname{dim}$ leiff) (IV 11 )
Sei $v_{r+1}, \ldots, v_{n}$ Basis ven ker $(g)$. Engäme me Basis won $v_{1}, \cdots, v_{n}$ vonV (Aushusdiaht)
$\Rightarrow w_{r}:=f\left(v_{7}\right), \ldots w_{r}:=f\left(v_{t}\right)$ encugen das Beld im $(f)$.
$\left.\left(V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle, f\left(v_{i}\right)=0 \forall_{i}\right\rangle r\right)$

Wegen dim in $(y)=r$ bilden $w_{1}, \cdots, W_{r}$ beriels Basis vanim ( $f$ ). ist $A_{j}=\left(a_{i j}\right)$ geg duch $f\left(v_{j}\right)=\sum \limits_{j=1}^{m} a_{i j} w_{i}$, abs ist diaj-le frallewn
$A_{f}=\left\{\begin{array}{ll} e_{j}, \text { folles } 1 \leq j \leq r \\ 0, & \text { folls } j>r \end{array}\right.$

Koollar 3
Sie $A \in M_{m \times n}(K)$ belieting. Damn eliskiern
reguline Mativen $s \in G \alpha_{n}(k), T \in G L_{n}(k)$, colass
$T A S^{-1}=\left(\left.\frac{E_{r}}{Q}\right|_{\infty} ^{0}\right) \text { mil } r=\operatorname{rg}(\lambda)$

Beweis
Sasse Acouf als Mahix $A f$ wn $f=F_{A}: k^{n} \rightarrow k^{m}$
bagl de Stawkladtheven van $k^{n}$ und $k^{m}$. Wälle nun mil
Sik 2 un ABf frewe Baren $e_{1}^{\prime}, \ldots, e_{n}^{\prime}$ van $k^{n}$ und $e_{1}^{\prime}, \ldots, e_{m}^{\prime}$ wan $k^{m}$
Collass die wugotinge Mahix $A_{f}^{\prime}$ die form hot $\left(\frac{E_{r} \mid O}{O \mid 0}\right)$ mil $r=\operatorname{dim} \operatorname{im}(f)$ Beadle: dim im $(f)=\pi g(A f)$
Beadle: $\operatorname{dim} \operatorname{im}(f)=\operatorname{Tg}(A f)$
$\Rightarrow r=\operatorname{ng}(A)$

Text erkannt:

Anfainglihe Dithumions $\Rightarrow$
$T \cdot A g \cdot S^{-1}=A^{\prime} f$

Spricalfall
Wemn $V=W$ ham man in Algemeinen nich sine Basis $u_{1}, \cdots v_{n}$ ven Vuillen, soodass Af die gerkilt $\left(\frac{\epsilon_{r} 0}{V_{0}}\right)$ hat,
\$2 Die Teilenstuenfom eine Mahix
$\text { Sei } A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(k)$
$\operatorname{lof}_{4}$
Die elementanen Teilenumformungen aine Mahix sind:
I. Ald wimes Teile zueiner andeen Tibe
II. Nult mil Sholaren $\neq 0$

Bppin I:

III Venkusshn wei Ziten
II Abd. des cfachen Sfrolass (cek) aine andien Zile lassen sich duch Kont won I und II esicten.

Hier ist mein Skript, ich verstehe nicht wie ich T*Af*S^-1 anwenden soll

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Diese Gleichung lautet in meinen Bezeichnungen

$$M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}=C^{-1}AB$$

Die Basen "mit Strich" in Deinem Skript sind hier die Spalten von B bzw. die von C, die anderen Basen sind jeweils die Standard-Einheitsbasen. Also entspricht B (Übergang von der "gestrichenen" Basis zur Standardbasis) der Matrix $S^{-1}$, weil S den Übergang von der Standardbasis zur gestrichenen Basis berechnet.

Die Wahl der Basen (B und C) ist im Beweis von Satz 2 beschrieben.

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Und ist diese Matrix bei deiner antwort ganz oben links wichtig? (1,2,-1,1)? Wozu ist die in der Antwort wichtig?

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Das ist die Matrix, die im Bildraum, hier also R², den Übergang von der "gestrichenen" zur Standardbasis, entspricht also T^(-1) in Deinem Skript.

Answer 2

Ein Beispiel - ob das in deine Vorlesung passt?

Ich habe Zeilen- (P) und Spaltenumformungen (Q) durchgeführt um auf die "Normalform" zu kommen

$\left|\begin{array}{ll}a\\b\\c\\\stackrel{zeile}{_{spalte}}{a+=}\stackrel{zeile}{_{spalte}}{b}\cdot c\\a==b \to _{Zeile}a\cdot c \end{array}\right|, \left(\begin{array}{rrr} 1&2&2\\ 2&2&1\\ -2&\frac{1}{3}&1\\\end{array}\right) A \left(\begin{array}{rr}3&3\\1&2\\-1&-1\\\end{array}\right)$

$\small P A Q = \left(\begin{array}{rr}1&-2\\0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&\frac{1}{3}\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\\\end{array}\right) \blue{ \left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\-1&1&0\\\end{array}\right)} \left(\begin{array}{rrr}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\\end{array}\right)$

In P^-1 stehen dann die Basisvektoren R². Invertieren: Reverse Reihenfolge, Zeilenadditionen Vorzeichen ausserhalb der Diagonalen ändern, Zeilenmultiplikationen 1/diag

$\small \to \left(\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&3\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&2\\0&1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}1&2\\-1&1\\\end{array}\right)$

Comments

Das ist so kryptisch, wer soll das denn bitte verstehen können?