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Hallo!

Man kann ja eine Differenzialgleichung n-ter Ordnung in ein DGLS mit n-Gleichungen erster Ordnung umschreiben. Wir haben das so eingeführt:

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Text erkannt:

Definition 3.2.1 Eine gewöhnliche Differenzialgleichung n n -ter Ordnung ist eine Gleichung der Gestalt
y(n)=f(x,y,y,y,,y(n1)), y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right),
wobei f : GR f: G \rightarrow \mathbb{R} eine auf einer Teilmenge GRn+1 G \subset \mathbb{R}^{n+1} definierte Funktion ist. Eine Lösung der Gleichung (3.2.1) auf einem Intervall I ist eine n-mal differenzierbare Funktion φ : IR \varphi: I \rightarrow \mathbb{R} , sodass graph(φ,φ,,φ(n1))G \operatorname{graph}\left(\varphi, \varphi^{\prime}, \ldots, \varphi^{(n-1)}\right) \subset G und
φ(n)(x)=f(x,φ(x),φ(x),,φ(n1)(x)) fu¨r alle xI. \varphi^{(n)}(x)=f\left(x, \varphi(x), \varphi^{\prime}(x), \ldots, \varphi^{(n-1)}(x)\right) \quad \text { für alle } \quad x \in I .

Der Gleichung (3.2.1) können wir ein System von n n Gleichungen erster Ordnung zuordnen:
u=F(x,u), u^{\prime}=F(x, u),
wobei
F : GRn,(xu)=(xu0un1)F(x,u) : =(u1un1f(x,u)). F: G \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad\binom{x}{u}=\left(\begin{array}{c} x \\ u_{0} \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{array}\right) \mapsto F(x, u):=\left(\begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n-1} \\ f(x, u) \end{array}\right) .


Frage:

Wieso "fällt" die Variable "x" einfach im Zuge dieser Umformung weg, x ist ja die Variable, von der das y abhängt. Die Ableitung ddx\frac{d}{dx} von xx wäre ja aber 1, warum darf das einfach weggelassen werden? Weil das ergibt als 1 schon fest steht?

Vielen Dank im Voraus!

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Du scheinst den Vektor (xu)\begin{pmatrix} x\\u \end{pmatrix} differenzieren zu wollen. Das ist nicht, was hier passiert.

Setze uk=y(k)u0=yu_k = y^{(k)} \Rightarrow u_0 = y, un=y(n)=f(x,u0,,un1)u_n = y^{(n)} = f(x,u_0,\ldots , u_{n-1})

Das System entsteht nun aus folgendem Vektor:

u=(u0un2un1)u = \begin{pmatrix} u_0\\ \vdots \\ u_{n-2} \\u_{n-1} \end{pmatrix}

Dieser Vektor wird bzgl. xx differenziert und du erhältst:

u=(u1un1f(x,u))F(x,u)u' = \underbrace{\begin{pmatrix} u_1\\ \vdots \\ u_{n-1} \\ f(x,u) \end{pmatrix}}_{F(x,u)}

Auf der rechten Seite des DGL-Systems steht dann die Funktion

F : (xu)F(x,u)F: \: \begin{pmatrix} x\\u \end{pmatrix} \mapsto F(x,u)


Zusammengefasst:
Beim Überführen der DGL n-ter Ordnung in ein System wird nicht der Vektor (xu)\begin{pmatrix} x\\u \end{pmatrix} differenziert, sondern nur der Vektor uu.

1 Antwort

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Beste Antwort

Solche Definitionen kann man sich gut an einem Beispiel verdeutlichen.

Betrachte y=f(x,y,y)y''=f(x,y,y').

Setze u=(xyy)u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ y'\end{pmatrix}. Dann ist u=(1yy)=(1yf(x,y,y))u'=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ f(x,y,y')\end{pmatrix}.

Da du aber eine Lösung für yy suchst, ist die erste Komponente in uu' unbedeutsam, so dass man eben nur die DGL u=(yf(x,y,y))u'=\begin{pmatrix}y' \\ f(x,y,y')\end{pmatrix} betrachten muss, um uu und damit eben auch yy zu erhalten. Häufig definiert man daher auch nur u=(yyy)u=\begin{pmatrix}y\\y'\\y''\\\dots \end{pmatrix}, weil das xx ja nicht benötigt wird.

Avatar von 21 k

Danke für deine Antwort!

Das klingt logisch!

Die Argumentation, warum das x vernachlässigt werden kann ist doch auch folgende:

Das DGLS kann ja mit den verschiedenen Gleichungen geschrieben werden:

d/dxx=1d/dx\: x=1

d/dxy=yd/dx \:y=y'

d/dxy=f(x,y,yd/dx\: y'=f(x,y,y'

-> wodurch man ja die erste Gleichung nicht benötigt, korrekt?

Genau, da du ja an yy interessiert bist. :)

Ergänzung:

Setze u=(xyy)u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ y'\end{pmatrix}. Dann ist u=(1yy)=(1yf(x,y,y))u'=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ f(x,y,y')\end{pmatrix}.

Das System kann man dann mit u=(u1u2u3)u=\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix} auch schreiben als

u=(1u3f(u1,u2,u3))u'=\begin{pmatrix}1 \\ u_3 \\ f(u_1,u_2,u_3)\end{pmatrix},

und nun kommt gar kein x mehr vor. Das nennt man autonome Dgl und manche Software für Dgl geht von autonomen Dgls aus, was aber keine Einschränkung ist durch diese Umschreibung (also: "o.B.d.A. sei das Dglsystem autonom").

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