Cosinus, Sinus und Umkehrfunktionen

Question

Aufgabe:

Winkel angeben (0° ≤ α ≤ 180°) für sin α = 0,707 und cos α = -0,819

Problem/Ansatz:

ich möchte wissen wie man diese Aufgabe löst (mit Lösungsweg)

Answer 1

Zeichne den Verlauf von sin(α) sowie von 0,707 im Bereich von α = 0 Grad bis 180 Grad in ein Koordinatensystem ein (blaue und grüne Linie).

Dasselbe habe ich auch mit cos(α) und -0,819 gemacht (orange und rote Linie).

Man sieht für die erste Aufgabe, dass die Schnittpunkte der blauen und der grünen Linie etwa bei α = 45° und α = 135° sind.

Wenn man es genauer wissen will, dann verwendet man die arcsin-Taste auf dem Taschenrechner. Dabei wird man herausfinden, dass die Werte für α etwa 44,99° und etwa 135,01° betragen.

Man könnte auch in Erwägung ziehen, dass mit 0,707 der Wert $1/ \sqrt{2}$ gemeint gewesen sein könnte, denn das liegt nahe beieinander. Dann stimmen die Werte 45° und 135° exakt.

Für die zweite Aufgabe kannst Du auf dem Taschenrechner arccos(-0,819) ausrechnen. Dabei wird man auf etwa 145° kommen. Aber nur etwa, denn der Cosinus von 145° ist nicht -0,819 sondern etwa -0,819152...

Comments

dass mit 0,707 der Wert $\sqrt{2}$ gemeint gewesen sein könnte

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

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Danke, ist mir auch gerade aufgefallen und ich habs korrigiert.

Answer 2

schau dir das im Einheitskreis an, dann erkennst du, dass es für den Sinus zwei Lösungen gibt. Ähnlich kannst du für den Kosinus vorgehen. Die 2. Lösung ist hier als $\beta$ dargestellt.

Answer 3

sina = 0,707 = √2/2, den Wert sollte man kennen, wie auch die von 30° und 60°.

√2/2 ist der sin von 45°

mit TR:

sina = 0,707

a= sin^(-1)0,707 = 45°

Stelle deinen TR auf das Gradmaß ein (deg), und wende sin^(-1) auf den Wert an.

Der sin hat denselben Wert im 2. Quadranten für 180°-45° = 135°


Der cos ist im 2. und 3. Quadranten negativ. Nur der 2. ist hier relevant.

Finde heraus, welcher Winkel das ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

Answer 4

Hallo.

Schreibe erstmal den Grad in reele Zahlen um.

Es gilt 0 ≤ a ≤ π. (Hierbei ist 0 Grad die Zahl 0 und 180 Grad ist π).

Wir betrachten also die Einschränkung sin und cos auf dem Intervall [0,π].

Es gilt sin(0) = sin(π) = 0 und sin(π/2) = 1, wobei π/2 ja 90 Grad ist.

Dann muss also sin(a) = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) im Definitionsintervall (0, π/2) liegen. Kleiner Tipp: Es ist a = π/4. Nun ist die Frage, was heisst das in Grad? Das sollte bekannt sein.

Dann gilt cos(π/2) = 0 und cos(π) = -1. Also liegt cos(a) = -0.819 im Definitionsintervall (π/2, π). Genau den Wert a hier zu bestimmen ist aber schwer. Würde mich wundern, wenn ihr das ohne GTR dürft.

Es gilt a ∈ B_ε(5/2) = (5/2 - ε, 5/2 + ε), wobei ε ∈ (0,1/10) fest gewählt ist, sodass cos(a) = -0.819 erfüllt wird. (a ist also irgendwas zwischen 2.5 und 2.55)

Answer 5

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn du dir mal die $\red{\text{Sinus}}$-Fuktion und die $\blue{\text{Cosinus}}$-Funktion als Graph ansiehst, stellst du fest, dass es zu jedem Funktionswert (auf der y-Achse) unendlich viele Winkel (auf der x-Achse) gibt.

Plotlux öffnen

f₁(x) = cos(x·π/180)f₂(x) = sin(x·π/180)Zoom: x(-500…500) y(-1,2…1,2)

Zu diesen Winkelfunktionen gibt es Umkehrfunktionen, denen du den Sinus- bzw. Cosinus-Wert übergibst, und die dir einen dieser unendlich vielen Winkel berechnen:$$\red{\arcsin}\colon[-1;1]\to[-90^\circ|90^\circ]\quad;\quad \blue{\arccos}\colon\mathbb[-1;1]\to[0^\circ|180^\circ]$$

Der zurückgelieferte Funktionswert wird auch "Hauptwert" genannt.

Du sollst die Winkel aus dem Intervall $[0^\circ|180^\circ]$ angeben. Der Hauptwert der $\arccos$-Funktion liegt immer in diesem Intervall. Der Hauptwert der $\arcsin$-Funktion liegt aber im Intervall $[-90^\circ|90^\circ]$, kann also negativ sein. In diesem Fall kannst du ausnutzen, dass gilt$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$

Das heißt, wenn der Hauptwert der $\arcsin$-Funktion negativ sein sollte, addierst du einfach $180^\circ$ dazu und hast dann eine Lösung im geforderten Intervall.

Im konkreten Fall liefert der Taschenrechner, wenn er auf Gradmaß DEG eingestellt ist:

$$\sin\alpha=0,707\implies\alpha=\arcsin(0,707)\approx45^\circ$$$$\cos\alpha=-0,819\implies\alpha=\arccos(-0,819)\approx145^\circ$$

Comments

Sicher, dass $\arcsin$ und $\arccos$ auf ganz $\R$ definiert sind?

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Und so ein Lapsus vom King of Komplettlösungen...

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@tschakabumba

Da sind einige Fehler und unschöne Schreibweisen enthalten

arcsin und arccos sind nicht auf ganz |R definiert! Übrigens ist der Sinus und Cosimus auch nicht für alle Zahlen invertierbar. Ganz einfacher Grund: Weder Sinus und Cosinus sind für alle x in |R bijektiv, wodurch sie auch nicht in ganz |R invertierbar sein können. Damit kann die Umkehrabbildung arcsin und arccos auch nicht in ganz |R definiert sein…

Übrigens ist die permanente Schreibweise im Grad auch unschön. Soetwas sollte man am Anfang übersetzen in reele Zahlen und später wieder umwandeln.

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@Arsino:

Vielen Dank, habe den Fehler korrigiert.

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Übrigens ist die permanente Schreibweise im Grad auch unschön. Soetwas sollte man am Anfang übersetzen in reele Zahlen und später wieder umwandeln.

Diese Aufgaben werden üblicherweise zu einem Zeitpunkt gestellt, an dem das Bogenmaß eines Winkels noch gar nicht bekannt ist.

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Das "Niveau" des FS wird hier doch des Öfteren nicht beachtet. ;)