0 Daumen
1,4k Aufrufe
Wir machen grad das thema mit limes. Und ich hab da eine sache nicht gut verstanden. E=lim (1+1÷n)^n soll beschränkt sein. Bedeutet das wie oben gefragt, dass die e^x funktion nach oben beschränkt ist. K×(1+p÷n))^n soll auch beschränkt sein. Danke
von 2,1 k

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Es gilt:

$$e=\lim _{ n->\infty  }{ (1+\frac { 1 }{ n } )^{ n } }$$

Dabei ist e die Eulersche Zahl, also e = 2,71828182...

Die genannte Gleichung besagt also, dass der Wert des Ausdrucks

$$\left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right) ^{ n }$$

gegen die Zahl

e = 2,71828182...

strebt, wenn man n gegen unendlich gehen lässt. Nach oben beschränkt ist also der Ausdruck

$$\left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right) ^{ n }$$

nämlich durch die Zahl e.

 

Die Funktion

f ( x ) = e x = 2,71828182... x

hingegen ist nach oben unbeschränkt. Sie ist eine Exponentialfunktion, deren Basis die Zahl e ist.

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Ok danke. Sind also streng monoton wachsende funktionen immer nicht nach oben unbeschränkt?

Strenge Monotonie sagt nichts über die Beschränktheit aus.

Die Funktion

f ( x ) = e x

etwa ist streng monoton wachsend und nach oben nicht beschränkt.

Die Funktion

g ( x ) = ( 1 + 1 / x ) x , x > 0

hingegen ist ebenfalls streng monoton wachsend, aber nach oben beschränkt - ihr Wert ist immer kleiner als die Zahl e. 

0 Daumen

Ich begebe mich in das Gebiet : Ist es " Haarspalterei " oder lohnt es sich die Frage
absolut exakt anzugehen ?

Zuvor vorab an immai : Du bist in der Lernphase. Deshalb fragst du ja hier.
Mein Kommentar und Antwort sollen helfen deinen  Wissenstand zu erhöhen
und  auch deine Fragen mathematisch richtig zu formulieren.

Frage ( Überschrift ) :

Ist die f ( x ) = e^x nach oben beschränkt ? e lim ( 1 + 1 / n ) ^n ist ja beschränkt.
Meine erster Kommentar  zu
" e lim ( 1 + 1 / n )^n ist ja beschränkt. " ist überhaupt kein mathematischer Ausdruck.
Ist " lim n -> +∞ von ( 1 + 1 / n )^n  beschränkt und gleich e ? "  Ja.
Antwort Teil 1 : der Wertebereich der Funktion f ( x ) = e^x ist  W = ] 0 ..∞ [ .
In Worten : der Wertebereich der Funktion geht von ( ausschließend ) null bis
( ausschließend )  Unendlich. Die Funktion ist nach oben nicht beschränkt.
Die Funktion  ( 1 + 1 / n )^n ist für n > 0 beschränkt auf einen Höchstwert ( e ).
Im gesamten Def-Bereich der Funktion geht die Funktion bei lim n -> (-1)- gegen ∞.

Hier einmal der Graph.



Frage ( Text ) :
Wir machen grad das thema mit limes. Und ich hab da eine sache nicht gut verstanden. E=lim (1+1÷n)n soll beschränkt sein. Bedeutet das wie oben gefragt, dass die ex funktion nach oben beschränkt ist.

Antwort : Beide Funktionen sind monoton steigend. e^x geht gegen unendlich ( für x > 0 ).
Die Funktion  ( 1 + 1 / n ) ^n geht für n > 0 gegen einen Grenzwert ( e ).

Erkenntnis : nicht jede monoton steigende Funktion geht gegen ∞, sondern kann auch einem
Grenzwert zustreben. Ein einfaches Beispiel f ( x ) = - (1/x) geht im Bereicih x > 0  bei x -> ∞
gegen Null. Oben rechts auf dieser Seite wäre ein Funktionsplotter zum raschen Zeichnen von
Funktionen.

Frage ( Text ) : K×(1+p÷n))n soll auch beschränkt sein. Danke
Kann ich nicht interpretieren. Heißt es :
K ( x ) = ( 1 + p / n ))^n ??? Eine rechte Klammer wäre zuviel. Ist p eine Konstante ?
Wo bleibt auf der rechten Seite das x ?

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.
Bin gern weiterhin behilflich.
Nach Durchsicht stelle ich fest das ich mich teilweise
auch nicht mathematisch völlig exakt ausgedrückt habe.

mfg Georg

von 83 k
Ich danke erstmal und ich werde mich bemühen mich mathematisch korrekter auszudrücken.die formel stand so im skript. P war glaub ich prozentsatz.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...