Taylorpolynom stellen nach erster Ordnung

Question

Aufgabe: Nr.2 c)

Verstehe nicht was genau hier richtig ist. Was ist das Ergebnis

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz scheint mir nicht richtig

Text erkannt:

2. Aufgabe
(19 Punkte)

Es sei $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch
$f(x, y)=\arctan (x y)$
(a) Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von $f$.
(b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von $f$ und geben Sie jeweils an, ob es sich um Maximalstellen, Minimalstellen oder Sattelpunkte handelt.
(c) Geben Sie das Taylorpolynom $T_{1} f(x)$ erster Ordnung von $f$ um die Entwicklungsstelle $\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1)$ an. Hinweis: Es gilt $\tan (\pi / 4)=1$.

Text erkannt:

$\begin{array}{l}\arctan x=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \quad, \quad=[-1,1] \\ \arctan (x y)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \\ \arctan (u)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{u^{2 n+1}}{2 n+1} \\ \arctan (u)=u-\frac{u^{3}}{3} \\ \arctan (x y)=x y-\frac{(x y)^{3}}{3}+O\left((x y)^{9}\right) \\ \Rightarrow T_{1} f(x)=x y-\frac{(x y)^{3}}{3}\end{array}$

Text erkannt:

$\begin{array}{ll}\sinh x=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}, & I=\mathbb{R} \\ \cosh x=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, & I=\mathbb{R} \\ \arctan x=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}, & I=[-1,1]\end{array}$

Answer 1

Nein. Ansatz: $$T_1 f(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y - y_0)$$an der Stelle $(1,1)$.

Im Hinweis muss es $\arctan$ und nicht $\tan$ heißen. Auch ist in der Aufgabe das $T_1f(x)$ falsch. Es muss ja $T_1f(x,y)$ sein.

Comments

Wie kommt man auf diesen Ansatz, auf den Ansatz wäre ich garnicht gekommen.

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Das sollte in deinen Unterlagen stehen: mehrdimensionales Taylorpolynom.

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Habe es jetzt so, danke