Berechnen Sie die Masse der Platte/ Massendichte/ Schwerpunkt (Doppel-/Integralrechnung)

Question

Gegeben sei eine viereckige Metallplatte $B$ mit den Eckpunkten $P = (1, 1)$, $Q = (3, 2)$, $R = (2, 5)$ und $S = (0, 3)$ in $\mathbb{R}^2$, und einem Parameterbereich $\mathbb{D} = [0, 1] \times [0, 1]$.

(a) Geben Sie zu $B$ eine Koordinatentransformation $\phi: \mathbb{D} \to B$ an und berechnen Sie die Funktionaldeterminante $| \det(D\phi) |$.

Tipp: Scannen Sie die Metallplatte mit der Geradenstrecke $XY$ von $SP$ bis $RQ$.

(b) Berechnen Sie die Masse der Platte mit der homogenen Massendichte $\rho(x, y) \equiv \rho$.

(c) Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Platte $(x_s, y_s)$.

Problem/Ansatz:

Ich habe irgendwie Probleme damit, meine Fehler zu finden bei meinen Rechenwegen. Ich weiß nicht, ob ich einfach zu blöd bin es nicht zu erkennen, allerdings sind meine Ergebnisse die ganze Zeit falsch, da meine Kommilitonen andere Ergebnisse haben.

Ich bin mir sicher das ich irgendwo Fehler habe, allerdings kann ich sie nicht erkennen. Ich zeig euch mal grob wie ich gerechnet habe.

Aufgabe a)

Parameter Darstellung:

$\phi(u, v) = (1-u)(1-v)P + (1-u)vS + u(1-v)Q + uvR$

$\phi(u, v) = (1-u)(1-v)(1, 1) + (1-u)v(0, 3) + u(1-v)(3, 2) + uv(2, 5)$

Komponentenberechnung:

$\phi_1(u, v) = (1-u)(1-v) \cdot 1 + (1-u)v \cdot 0 + u(1-v) \cdot 3 + uv \cdot 2 = (1-u)(1-v) + 3u(1-v) + 2uv = 1 - v + 2u$

$\phi_2(u, v) = (1-u)(1-v) \cdot 1 + (1-u)v \cdot 3 + u(1-v) \cdot 2 + uv \cdot 5 = 1 + 2v + u + uv$

Ableitungen:

$\frac{\partial \phi_1}{\partial u} = 2$

$\frac{\partial \phi_1}{\partial v} = -1$

$\frac{\partial \phi_2}{\partial u} = 1 + v$

$\frac{\partial \phi_2}{\partial v} = 2 + u$

$D\phi = \begin{pmatrix}2 & -1 \\1 + v & 2 + u \end{pmatrix}$

$\det(D\phi) = 2(2 + u) - (-1)(1 + v) = 5 + 2u + v$

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Aufgabe b)

$M = \rho \iint_{\mathbb{D}} |\det(D\phi)| \, du \, dv = \rho \int_0^1 \int_0^1 (5 + 2u + v) \, du \, dv$

$= \rho \int_0^1 \left[ 5u + u^2 + vu \right]_0^1 dv$

$= \rho \int_0^1 (5 + 1 + v) \, dv = \rho \int_0^1 (6 + v) \, dv$

$= \rho \left[ 6v + \frac{1}{2}v^2 \right]_0^1= \rho \left( 6 + \frac{1}{2} \right) = \rho \cdot \frac{13}{2}$

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Aufgabe c)

Berechnung von $x_s$

$x_s = \frac{2}{13\rho} \iint_{\mathbb{D}} (1 - v + 2u)(5 + 2u + v) \, du \, dv = \frac{86}{39\rho}$

Berechnung von $y_s$

$y_s = \frac{2}{13\rho} \iint_{\mathbb{D}} (1 + 2v + u + uv)(5 + 2u + v) \, du \, dv = \frac{64}{39\rho}$

Answer 1

Deine Werte der Integrale zur Schwerpunktberechnung sind falsch.

Da du deren Berechnung nicht angegeben hast, kann man auch nicht sagen, wo du Fehler gemacht hast. Übrigens müsste sich beim Schwerpunkt die konstante Dichte rauskürzen:

$x_s = \frac{20}{13}$

$y_s = \frac{110}{39}$

Nachgerechnet mit Mathematica:

Ich habe nochmal alles mit der im Tipp angegebenen Parametrisierung (die von deiner verschieden aussieht) mit Mathematica durchgerechnet und komme auf dasselbe Ergebnis. Den konstanten Faktor $\rho$ hab ich dabei aber nicht mitgeschleppt:

Comments

Ah, ok. Das ist gut zu wissen. Ich werde es nochmal rechnen.

Danke

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Achja, sind allerdings die vorherige werte richtig? Weil ich komme manchmal durcheinander eine Parameterdarstellung zu machen...

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Der Wert deiner Funktionaldeterminante ist korrekt.
Daher ist wahrscheinlich deine Parametrisierung auch korrekt.

Aber um sicher zu gehen, müsste ich deinen Ansatz sehen, mit dem du deine Parametrisierung erzeugt hast.

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Gegeben war

$\varphi(u, v) = (1 - u)(1 - v) \cdot P + (1 - u) v \cdot S + u (1 - v) \cdot Q + uv \cdot R$

Eckpunkten:

$P = (1, 1), \quad Q = (3, 2), \quad R = (2, 5), \quad S = (0, 3)$

$\varphi(u, v) = (1 - u)(1 - v) \cdot (1, 1) + (1 - u) v \cdot (0, 3) + u (1 - v) \cdot (3, 2) + uv \cdot (2, 5)$

Berechnung von $\varphi_1(u, v)$:

 $\varphi_1(u, v) = (1 - u)(1 - v) \cdot 1 + (1 - u) v \cdot 0 + u (1 - v) \cdot 3 + uv \cdot 2$

 $= (1 - u)(1 - v) + 0 + 3u(1 - v) + 2uv$

$= 1 - v - u + uv + 3u - 3uv + 2uv$

 Zusammengefasst

 $= 1 - v + 2u$

Berechnung von $\varphi_2(u, v)$:

 $\varphi_2(u, v) = (1 - u)(1 - v) \cdot 1 + (1 - u) v \cdot 3 + u (1 - v) \cdot 2 + uv \cdot 5$

 $= (1 - u)(1 - v) + 3(1 - u)v + 2u(1 - v) + 5uv$

  $= 1 - v - u + uv + 3v - 3uv + 2u - 2uv + 5uv$

 $= 1 + 2v + u + uv$

Ergebnis:

$varphi(u, v) = \left(1 - v + 2u, \, 1 + 2v + u + uv\right)$

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Das sieht gut aus. Mathematica hat dasselbe Ergebnis:

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Oh warte. Ich glaube ich habe deinen Kommentar falsch gelesen.

Man hatte ja die Eckpunkte der Metallplatte gegeben:

$P = (1, 1)$

$Q = (3, 2)$

$R = (2, 5)$

$S = (0, 3)$

Ich habe mithilfe dieser Formel berechnet (bilineare Interpolation):

$\varphi(u, v) = (1 - u)(1 - v) \cdot P + (1 - u)v \cdot S + u(1 - v) \cdot Q + uv \cdot R$

Das bedeutet

$\varphi(0,0) = (1 - 0)(1 - 0) \cdot P = P$,

$\varphi(0,1) = (1 - 0) \cdot 1 \cdot S = S$,

$\varphi(1,0) = 1 \cdot (1 - 0) \cdot Q = Q$,

$\varphi(1,1) = 1 \cdot 1 \cdot R = R$.

Danach habe ich die Koordinaten der Eckpunkte in $\varphi(u, v)$ eingesetzt.

$\varphi(u, v) = (1 - u)(1 - v) \cdot (1, 1) + (1 - u) v \cdot (0, 3) + u(1 - v) \cdot (3, 2) + uv \cdot (2, 5)$

Ab da habe ich weiter gerechnet

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Ah, ok. Danke

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Das passt. Der Tipp ist etwas ungenau formuliert, daher sieht meine Parametrisierung etwas anders aus.

Der Unterschied zwischen deiner und meiner Parametrisierung ist folgender:

Bei dir laufen die Endpunkte X,Y der "scannenden" Geraden "gleichzeitig" von P nach S und von Q nach R.

Bei mir laufen sie "gleichzeitig" von S nach R und von P nach Q.

Beide Parametrisierungen liefern eine korrekte Parameterdarstellung der Platte.

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Das ist interessant zu wissen. Danke nochmals für die Hilfe ^^