Lineare Abbildung (x,y,z)-->(z,x,y), C3 ->C3 charakteristisches Polynom und Basen der Eigenräume?

Question

Betrachten Sie die lineare Abbildung
$\alpha: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3},(x, y, z) \mapsto(z, x, y)$

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von $\alpha$ und lesen Sie die Eigenwerte von $\alpha$ ab.

b) Berechnen Sie Basen für die Eigenr äume des Endomorphismus $\alpha$.

c) Entscheiden Sie, ob $\alpha$ diagonalisierbar ist und geben Sie ggf. eine Basis $\mathcal{B}$ an, so dass die zugehörige Koordinatenmatrix $[\alpha]_{\mathcal{B}, \mathcal{B}} \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{C})$ diagonal ist.

Comments

Beachte vielleicht die Geometrie dieser Abbildung:

die Koordinaten x,y,z werden zyklisch vertauscht.

Das wäre eine Drehung um die Achse

a: r = t (x,x,x)
Drehwinkel 120°

Die Achse ist gleichzeitig Fixgerade und Eigenraum des Eigenwertes k= 1.

Die Matrix dieser Abbildung ist

001

100

010

(1,1,1) ist ein Eigenvektor (Achsenrichtung)

Weitere Eigenvektoren sollte es nicht geben.

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Na ja: Allfällige nichtreale Eigenwerte könnten sich vielleicht über das char. Polynom

X(k) = -k^3 + 1 noch finden lassen.

k^3 = 0

k1 = 1

k2 = e^{2πi/3}

k3 = e^{4πi/3}

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ganz bestimmt sogar

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Im Nachhinein sieht das wider ganz einfach aus. Bräuchte jetzt noch etwas Hilfe bei der b) und der c).

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Also macht es einen Unterschied, dass es sich um einen Endomorphismus handelt?

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Weiß denn niemand was zur b) und c)? Wie berechnet man die Basen für die Eigenräume des Endomorphismus?