Aus dem Bereich Kathetensatz/Höhensatz/Satz Pythagoras

Question

Aufgabe:

In einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist eine Diagonale AC eingezeichnet. Helga konstruiert eine Strecke h, die normal auf die Diagonale steht und durch den Eckpunkt D geht. Dadurch wird die Diagonale in die Abschnitte d1 und d2 unterteilt. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.

Gegeben:

d2=28 cm

b= 35cm (b>a)

Problem/Ansatz:

Ich finde keine Möglichkeit b und d2 in Bezug zueinander zu setzen um so auf die fehlende Seite des Rechtecks zu kommen.

Comments

Die Aufgabe ist widersprüchlich. Sei $E$ neben $D$ der zweite Endpunkt der Strecke $h$, so könnte man aus folgender Formulierung schließen ...

... eine Diagonale AC ... wird die Diagonale in die Abschnitte d1 und d2 unterteilt.

... dass $|AE|=d_1$ und $|EC|=d_2$ ist. Dies steht aber im Widerspruch zu

b= 35cm (b>a)

aus $b \gt a$  folgt, dass $$|AE| \gt |EC| \\\implies |EC| \lt \frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} \lt \frac{1}{2}\sqrt{2} b \approx 24,7$$Mit $d_2 = 28$ kann dann nicht $|EC|=d_2$ sein!?
Gibt es zu der Aufgabe eine Zeichnung?

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Nein, es gibt eben leider keine Zeichnung. Das war ja mein Problem: ich hatte angenommen, dass das Rechteck wie immer beschriftet wäre und somit d2 in dem einen ähnlichen Dreieck liegt und b im anderen.

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ich hatte angenommen, dass das Rechteck wie immer beschriftet wäre

wenn nichts weiter angegeben ist, sollte man immer davon ausgehen. D.h.$|AC|=a=|BD|$ und $|BC|=b=|DA|$. Die Frage ist nur: wo genau ist $d_2$?

Sollte $d_2=|AE|$ sein, so ist $a=26,25$ und somit ist $b\gt a$. Das kann man genauso mit dem Kathetensatz im Dreieck $\triangle ACD$ berechnen. $$|DA|^2=b^2 = |AE|\cdot |AC| = d_2\sqrt{a^2+b^2}$$Siehe auch die Antwort vom Mathecoach; nur seine Skizze passt nicht dazu!

Die Frage ist inzwischen mehr als 4 Tage alt, was sagt denn Deine Lehrkraft zur Aufgabe?

Answer 1

$28^2+h^2=c^2$        $h^2+d_1^2=35^2$→    $h^2=35^2-d_1^2$

$28^2+35^2-d_1^2=c^2$            $(d_1+28)^2=35^2+c^2$

$(d_1+28)^2=35^2+28^2+35^2-d_1^2$

Nun weiter...

Comments

In $(d_1+28)^2=35+c^2$ und im folgenden fehlt ein $^2$.

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Danke dir für den Hinweis.

Answer 2

h² + 28² = 35² --> h = 21

d1 * 28 = 21² --> d1 = 15.75

21² + 15.75² = a² --> a = 26.25

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Die Punkte des Rechtecks sind falsch beschriftet.

Answer 3

Anderer Weg:

Die Teildreiecke AED und CDE sind ähnlich mit

$\frac{h}{28}=\frac{\sqrt{35^2-h^2}}{h}$

$\frac{h^2}{28^2}=\frac{35^2-h^2}{h^2}$

$(h^2)^2 +28^2(h^2)-(28\cdot35)^2=0$

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Anderer Weg:

Kathetensatz steht in der Überschrift. Man spiegele zunächst den Punkt $E$ am Mittelpunkt der Diagonale $AC$ zu $E'$.

Dann ist $|AE'| =|EC|= d_2$ und $E'B$ ist die Höhe im Dreieck $\triangle ABC$ über $AC$ und daraus folgt nach dem Kathetensatz:$$a^2 = d_2\sqrt{a^2+b^2} \\ \implies a=\sqrt{\frac{d_2^2}{2} +d_2\sqrt{\frac{d_2^2}{4} + b^2} } \approx 38,05$$