Aufgabe: Nutze die Methode der Eigenfunktionserweiterung um folgende DGL zu lösen:
y′′(x)+4y(s)=x∀x∈(0,π) mit y′(0)=0=y′(π)
Die Eigenwerte und Eigenfunktionen sind bekannt als λn=n2 ∀n∈N0 und un=cosnx ∀n∈N0 und die Fourierreihe für f(x)=x darf genutzt werden: x∼2π+π2n∈N∑n2((−1)n−1)cosnx
Mein Ansatz:
n∑(4−n2)cncosnx=2π+π2n∈N∑n2((−1)n−1)cosnx
Dann ist für n=0: c0=8π
Da n=2 eine NST von 4−n2 ist, ist c2 unbestimmt, also fu¨r n=2 : c2cos(2x)
Für alle anderen n (also n=1 und n größer als 2) ist:
n=1,n≥3∑πn2(4−n2)2((−1)n−1)cosnx
Und dann insgesamt:
y(x)=8π−c2cos(2x)+n=1,n≥3∑πn2(4−n2)2((−1)n−1)cosnx
Das erfüllt auch y(0)=y(pi)=0, aber ich schaffe es einfach nicht, das auch in die DGL einzusetzen und das zu überprüfen. Stimmt meine Lösung soweit, oder sind irgendwo Fehler? Bin für jeden Tipp dankbar :)