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Aufgabe: Nutze die Methode der Eigenfunktionserweiterung um folgende DGL zu lösen:

y(x)+4y(s)=xx(0,π) mit y(0)=0=y(π)y''(x)+4y(s)=x \forall x \in (0,\pi)\text{ mit } y'(0)=0=y'(\pi)

Die Eigenwerte und Eigenfunktionen sind bekannt als λn=n2 nN0 und un=cosnx nN0\lambda_n=n^2 \text{ }\forall n \in \mathbb{N_0} \text{ und } u_n=cosnx \text{ } \forall n \in \mathbb{N_0} und die Fourierreihe für f(x)=x darf genutzt werden: xπ2+2πnN((1)n1)n2cosnxx\sim\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{((-1)^n-1)}{n^2}cosnx


Mein Ansatz:

n(4n2)cncosnx=π2+2πnN((1)n1)n2cosnx\sum \limits_{n}(4-n^2)c_ncosnx=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{((-1)^n-1)}{n^2}cosnx

Dann ist für n=0: c0=π8c_0=\frac{\pi}{8}

 Da n=2 eine NST von 4n2 ist, ist c2 unbestimmt, also fu¨r n=2 : c2cos(2x)\text{ Da n=2 eine NST von }4-n^2 \text{ ist, ist } c_2 \text{ unbestimmt, also für n=2:} c_2cos(2x)

Für alle anderen n (also n=1 und n größer als 2) ist:

n=1,n32((1)n1)πn2(4n2)cosnx\sum \limits_{n=1, n\geq3}\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2 (4-n^2)}cosnx

Und dann insgesamt:

y(x)=π8c2cos(2x)+n=1,n32((1)n1)πn2(4n2)cosnxy(x)=\frac{\pi}{8}-c_2cos(2x)+\sum \limits_{n=1, n\geq3}\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2 (4-n^2)}cosnx


Das erfüllt auch y(0)=y(pi)=0, aber ich schaffe es einfach nicht, das auch in die DGL einzusetzen und das zu überprüfen. Stimmt meine Lösung soweit, oder sind irgendwo Fehler? Bin für jeden Tipp dankbar :)

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Soweit ich sehe, ist alles richtig. Mir ist allerdings nicht klar, was Du meinst mit " in die DGL einsetzen "

Danke schonmal :) Ich meinte, dass ich meine Lösung gerne zur Überprüfung in y'x+4y=x einsetzen würde.

Das hast Du foch mit Deinem Ansatz getan.

Übrigens: Du meinst Doch wahrscheinlich Eigenfunktionsentwicklung?

Ich sehe auch keinen Fehler. Das Einsetzen in die Dgl für eine Probe wäre in der Tat mühselig. Wenn man die Dgl anders (siehe wolframalpha) löst, stellt man fest, dass sich die Lösung auch in einfacher Form schreiben lässt. Ich weiß nicht, ob in der Aufgabe das das Ziel ist. Mit der Eigenentwicklung alleine kommt man da nicht hin.

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