y''+4y=x lösen durch Eigenfunktionserweiterung

Question

Aufgabe: Nutze die Methode der Eigenfunktionserweiterung um folgende DGL zu lösen:

$$y''(x)+4y(s)=x \forall x \in (0,\pi)\text{ mit } y'(0)=0=y'(\pi)$$

Die Eigenwerte und Eigenfunktionen sind bekannt als $$\lambda_n=n^2 \text{ }\forall n \in \mathbb{N_0} \text{ und } u_n=cosnx \text{ } \forall n \in \mathbb{N_0}$$ und die Fourierreihe für f(x)=x darf genutzt werden: $$x\sim\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{((-1)^n-1)}{n^2}cosnx$$

Mein Ansatz:

$$\sum \limits_{n}(4-n^2)c_ncosnx=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{((-1)^n-1)}{n^2}cosnx$$

Dann ist für n=0: $$c_0=\frac{\pi}{8}$$

$$\text{ Da n=2 eine NST von }4-n^2 \text{ ist, ist } c_2 \text{ unbestimmt, also für n=2:} c_2cos(2x)$$

Für alle anderen n (also n=1 und n größer als 2) ist:

$$\sum \limits_{n=1, n\geq3}\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2 (4-n^2)}cosnx$$

Und dann insgesamt:

$$y(x)=\frac{\pi}{8}-c_2cos(2x)+\sum \limits_{n=1, n\geq3}\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2 (4-n^2)}cosnx$$

Das erfüllt auch y(0)=y(pi)=0, aber ich schaffe es einfach nicht, das auch in die DGL einzusetzen und das zu überprüfen. Stimmt meine Lösung soweit, oder sind irgendwo Fehler? Bin für jeden Tipp dankbar :)

Comments

Soweit ich sehe, ist alles richtig. Mir ist allerdings nicht klar, was Du meinst mit " in die DGL einsetzen "

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Danke schonmal :) Ich meinte, dass ich meine Lösung gerne zur Überprüfung in y'x+4y=x einsetzen würde.

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Das hast Du foch mit Deinem Ansatz getan.

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Übrigens: Du meinst Doch wahrscheinlich Eigenfunktionsentwicklung?

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Ich sehe auch keinen Fehler. Das Einsetzen in die Dgl für eine Probe wäre in der Tat mühselig. Wenn man die Dgl anders (siehe wolframalpha) löst, stellt man fest, dass sich die Lösung auch in einfacher Form schreiben lässt. Ich weiß nicht, ob in der Aufgabe das das Ziel ist. Mit der Eigenentwicklung alleine kommt man da nicht hin.