Grenzwert von verschachtelter Betragsfunktion

Question

Aufgabe:

Meine Aufgabe lautet wie folgt. Bestimmen Sie den Grenzwert für die Folge:

Lim x-> 0 von ||x|-x|

Problem/Ansatz:

Wie löst man das? Ich weis, dass man den links und rechtsseitigen Grenzwert betrachtet. Die Beträge verwirren mich

Answer 1

Bei Verwirrung muss man nicht aufgeben, sondern in kleinen Schritten vorangehen. Die Schritte hast Du schon richtig genannt, verwende einseitige Grenzwerte. Mit der daraus folgenden Fallunterscheidung löst man den inneren Betrag auf (und damit mindestens einen Teil der Verwirrung) und erhält einfache Ausdrücke, deren Grenzwert nicht mehr schwierig zu bestimmen ist.

Comments

Ich würde

für links: lim x-> 0 |-x-x| = lim x-> 0 |-2x| = lim x-> 0 -2x

für rechts: lim x-> 0 |x-x| = 0

Ist das so richtig?

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Ja, schon fast fertig.

Von links: Den Grenzwert musst Du noch ausrechnen/hinschreiben.

Dann noch aus dem Ergebnis der beiden einseitigen Grenzwerte Deine Beurteilung des (allgemeinen) Grenzwerts formulieren.

Man schreibt übrigens beim linksseitigen Grenzwert \(\lim\limits_{x\to 0-}\).

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Dann würde insgesamt stehen:

lim x-> 0- ||x|-x| = lim x-> 0- |-x-x| = lim x-> 0- |-2x| = lim x-> 0- -2x = 0

lim x-> 0+ ||x|-x| = lim x-> 0+ |x-x| = 0

=> lim x-> 0 ||x|-x| = 0

Warum wird der zweite Betrag beim linksseitigen Grenzwert vernachlässigt? Das war das was für Verwirrung sorgte.

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Wenn man sich von links der 0 nähert, ist \(-2x\) positiv und daher gilt \(|-2x|=-2x\).

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Vorweg: Es hilft, wenn Du bei Fragen Deine Rechnung (soweit vorhanden) gleich mitlieferst und das eigentliche Problem konkret benennst.

Hier

Bei \(\lim\limits_{x\to 0-}\) betrachten wir ja nur \(x<0\). Dann ist aber \(-2x>0\) und es gilt ja generell: \(u>0\implies |u|=u\), also hier: \(|-2x|=-2x\).

Der Betrag wird nicht vernachlässigt, sondern es wird seine Def. benutzt um ihn loszuwerden.

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Entschuldigung, dass war etwas zu schnell formuliert meinerseits mit der Frage.

Jetzt habe ich das jedenfallls verstanden. Da x<0 mit einem minus multipliziert -x>0 ergibt. Das habe ich gar nicht bedacht.

Dankeschön :)

Answer 2

Du hast es hier mit einer stetigen Funktion zu tun, also ist

\(\lim_{x\to 0}||x|-x| = ||0|-0| = 0\)

Du kannst aber auch die Dreiecksungleichung

\(|a\pm b| \leq |a|+|b|\)

anwenden und den Einschließungsatz für Grenzwerte:

\(0\leq ||x|-x| \leq ||x|| +|x| = 2|x| \stackrel{x\to 0}{\rightarrow}0\)