f(x) = xn mit n ≥ 2
in die Krümmungsfunktion einsetzen. Wenn man sich dabei auf positive Werte von x beschränkt erhält man
k(x) = f''(x) / (1 + f'(x)2)^(3/2)
k(x) = n·x^(n + 1)·(n - 1) / (n2·x^(2·n) + x2)^(3/2)
Das Maximum der Krümmung erhält man, wenn die Ableitung 0 ist
k'(x) = n·xn·(1 - n)·(n2·x^(2·n)·(2·n - 1) + x2·(2 - n)) / (n2·x^(2·n) + x2)^(5/2) = 0
Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist. Der Nenner darf nie Null sein.
n·xn·(1 - n)·(n2·x^(2·n)·(2·n - 1) + x2·(2 - n)) = 0
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss einer der Faktoren Null sein.
n2·x^(2·n)·(2·n - 1) + x2·(2 - n) = 0
x2·(n2·x^(2·n - 2)·(2·n - 1) + (2 - n)) = 0
Erneuter Satz vom Nullprodukt
n2·x^(2·n - 2)·(2·n - 1) + (2 - n) = 0
Direkt zum x über Äquivalenzumformungen auflösen
n2·x^(2·n - 2)·(2·n - 1) = n - 2
x^(2·n - 2) = (n - 2) / (n2·(2·n - 1))
x = ((n - 2) / (n2·(2·n - 1)))^(1/(2·n - 2))
Skizze
Plotlux öffnen f1(x) = ((x-2)/(x2·(2·x-1)))^(1/(2·x-2))Zoom: x(1…10) y(0…1)