Wie wendet man den Induktionsbeweis konkret an?

Question

Aufgabe:

Sei p eine Primzahl, n eine positive ganze Zahl und ,∈. Zeige, dass p | ((a+b)^p - (a^p + b^p)). Beweis soll per Induktion durchgeführt werden.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe wie man per Induktion beweisen soll. Zuerst muss n=k bewiesen werden und dann n=k+1. Jedoch verstehe ich jetzt nicht wo ich das n hinsetzen muss um es zeigen zu können. Ich habe es mit pⁿ=k und pⁿ=k+1 probiert jedoch hat das nicht so geklappt. Ich bin sehr verwirrt und könnte Hilfe gebrauchen. Kann mir jemand die Aufgabe erklären oder vielleicht sogar lösen? Danke schon im Voraus, Fabienne

Comments

n kommt in  "p | ((a+b)^p - (a^p + b^p))" gar nicht vor! Aber aus welcher Zahlenmenge sind a und b?

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a und b sind ganze Zahlen, sorry.

Ich bin sehr überfordert

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Kläre erstmal die Aufgabenstellung - beachte Rolands Hinweis. Poste die Aufgabe im Original, wörtlich und vollständig, z.B. als Foto.

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Das hier ist die aufgabe:

Text erkannt:

(17) Soit $p$ un nombre premer. Mentrea que $p \left\lvert\,\binom{ p}{k}\right.$ Matteo pour $1 \leqslant k \leqslant p-1$.
(18) Soreat $p \in \mathbb{P}, n$ un entios poritif, $a, b \in \mathbb{Z}$. Montrer (paricurenen) Damis que $p \mid\left((a+b)^{n}-\left(a^{n}+b^{n}\right)\right)$.

Text erkannt:

Sorient $p \in \mathbb{P}, n$ un entios poritif, $a, b \in \mathbb{Z}$. Montrer (parcécréneas) que $P^{\mid} \mid\left((a+b)^{n}-\left(a^{p}+b^{n}\right)\right)$.

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Aha, sieht schon anders aus als was Du zuerst gepostet hast.

Sinnvoll bei Induktion ist es, erstmal Ind. Vor. und Ind. Beh. sauber aufzuschreiben. Vorher Ind. Anf. erledigen. Mach das also erstmal und lass sehen.

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0ffensichtlich ist der Exponent weder n noch p sondern pⁿ. Schon das Niederschreiben der Formel überfordert dich.

Answer 1

Nous pouvons appliquer le théorème binomial et obtenir

$\begin{aligned}( a + b) ^{ p ^{ n}} - ( a ^{ p ^{ n}} + b ^{ p ^{ n}})= \sum_{ k = 1}^{ p ^{ n} - 1} \binom{ p ^{ n}}{ k} a ^{ k}b^{ p ^{ n} - k}\end{aligned}$

où chaque summand est $\cancel{\text{évidemment}}$ maintenant divisible par $p$.

(Mein Französisch ist ein bisschen eingerostet.)

Comments

(Mein Französisch ist unausgeprägt, daher)

Ist es genauso klar, dass p den Binomialkoeffizient Binomial(p,k) teilt, wie es klar ist, dass p Binomial(pⁿ ,k) teilt?

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Nein, aber ich hatte angenommen, der Fragensteller wolle eher nur einen Hinweis als eine komplette Antwort haben. Ah ja, evidemment ist das falsche Wort in diesem Kontext, ich hatte es wohl mit maintenant verwechselt ...

Answer 2

Den Hinweis auf Induktion sehe ich so: Wenn für eine natürliche Zahl n gilt:

$$(a+b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n} \text{ mod }p$$

Dann folgt

$$(a+b)^{p^{n+1}}=(a+b)^{p^n \cdot p}=(a^{p^n}+b^{p^n})^p =\\\quad \sum_{k=0}^p {p \choose k}a^{p^n\cdot k}\cdot b^{p^n\cdot (p-k)}=a^{p^{n+1}}+b^{p^{n+1}}\text{ mod }p$$