Wie berechne ich die Schwerpunktkoordinaten eines Halbkreises in Koordinatenform.

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich die Schwerpunktkoordinaten eines Halbkreises der folgenden Form: x^2+y^2 <gleich 4 ; y >gleich 0 ?

Problem/Ansatz:

Stehe auf dem Schlauch, bitte um Erklärung und eventuellem Rechenweg.

Answer 1

Schwerpunkt \(y= \frac{4r}{3π} \)

\(y= \frac{4\cdot 2}{3π} \)

Comments

Moliets, du bist ein wahrer Glückspilz.

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@ Marius: Beantworte das Deine Frage nach dem Rechenweg?

Oder anders: Wenn Du in einer Prüfung den Schwerpunkt eines Viertelkreises berechnen sollst, wüsstest Du jetzt, wie das geht?

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Falls es noch interessiert, wie man auf den Wert von \(\frac{4}{3\pi}r\) kommt ... $$ y_s= \frac{1}{A_H} \int\limits_{y=0}^{r} y \cdot s(y)\,\text{d}y\\ \phantom{y_s}=\frac{2}{\pi r^2} \int\limits_{y=0}^{r}2y\sqrt{r^2-y^2}\,\text{d}y\\ \phantom{y_s}= \frac{2}{\pi r^2} \left[-\frac{2}{3}\sqrt{\left(r^2-y^2\right)^3}\right]_{y=0}^{r} \\ \phantom{y_s}= -\frac{4}{3\pi r^2} \left( 0-r^3\right) \\ \phantom{y_s}= \frac{4}{3\pi} r $$\(A_H\) ist die Fläche des Halbkreises und \(s(y)\) ist die Länge der waagerechten Sehne im Kreis an der Position \(y\).