Wie berechne ich die Seitenlängen eines Rechtecks wenn nur der Umfang und der Flächeninhalt gegeben ist?

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich die Seitenlängen eines Rechtecks wenn nur der Umfang und der Flächeninhalt gegeben ist?

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich die Seitenlängen eines Rechtecks wenn nur der Umfang und der Flächeninhalt gegeben ist?

Umfang: 110m

Flächeninhalt: 1500m²

Answer 1

Du hast dann ein Gleichungssystem

2a + 2b = U --> b = 0.5·U - a

Das setzten wir in die Flächenformel für b ein und lösen mal nach a auf

a·b = a·(0.5·U - a) = A --> a = (U ± √(U² - 16·A))/4

Wir setzen mal ein

a = (110 ± √(110² - 16·1500))/4

Da die Diskriminante < 0 ist gibt es keine Lösung. Es gibt also kein Rechteck mit dem Umfang von 110 m und einem Flächeninhalt von 1500 m².

Answer 2

Stelle das passende Gleichungssystem auf:

Fläche: $a\cdot b = 1500$

Umfang: $2a+2b=110$

Löse die zweite Gleichung nach einer Variablen auf und setze in die erste Gleichung ein. Klammern nicht vergessen.

Comments

und wie finde ich heraus was a und b sind..?

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Die Anleitung steht doch in meiner Antwort. Wie man Gleichungen umformt wird sicherlich bekannt sein.

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Löse die zweite Gleichung nach einer Variablen auf ..

Falls der Vietasche Wurzelsatz bekannt ist, liefert dieser aus a·b = A und a+b = u/2 sofort die Gleichung x² - u/2·x + A =  0 , deren Lösungen a und b sind.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Für den Umfang des Rechtecks gilt:$$110\stackrel!=U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot(a+b)\quad\implies\quad a+b=55\quad\implies\quad\pink{b=55-a}$$

Für die Fläche des Rechtecks gilt:$$1500\stackrel!=F=a\cdot b=a\cdot(\pink{55-a})=55a-a^2\quad\implies\quad a^2-55\,a+1500=0$$

Diese quadratische Gleichung für $a$ müsstest du lösen und das Ergebnis dann in die pinke Formel für $b$ einsetzen. Das Problem ist aber, dass die quadratische Gleichung keine reelle Lösung hat.

Daher prüfe bitte deine Werte für Umfang und Fläche.

Answer 4

Die blaue Linie repräsentiert die Lösungen, bei der die Seitenlängen a und b eine Fläche von 1500 m² ergeben.

Die gelbe Linie repräsentiert die Lösungen, be der die Seitenlängen a und b einen Umfang von 110 m ergeben.

Der Schnittpunkte der beiden Linien sind die Lösungen des Gleichungssystems, also wo beides zutrifft.

Das bedeutet, es gibt das gesuchte Rechteck nicht.