Relationen mit modulo (Kongruenzrelation)

Question

Ich brauche eure Hilfe, um eine Aufgabe zu lösen, da ich gar nicht verstehe, was da hier gefragt wird.

Hier ist meine Aufgabe:

Für Mengen A,B ⊆ ℤ definieren wir:

A + B =_def {z | es gibt ein x ∈ A und y∈ B mit z = x + y}

A^.B = _def {z | es gibt ein x ∈ A und y ∈ B mit z = x^.y}

Weiterhin sei Ξ ⊆ℤ² die Kongruenzrelation modulo 11.

a. Bestimmen Sie {2,3,4}^.{1,2,3}.

b. Bestimmen Sie [4] _Ξ + {-11,0,11}.

c. Zeigen Sie, dass [x+y]_≡ = [x]_≡ + [y]_≡ für alle x,y ∈ ℤ gilt.

d. Zeigen Sie, dass [x^.y] _≡ ⊇[x]_≡ ^.[y]_≡ für alle x,y ∈ ℤ gilt.

e. Gilt auch stets [x^.y]_≡ ⊆[x]_≡ ^.[y]_≡  für alle x,y ∈ ℤ ?

Answer 1

a) Ich nehme mal an, dass dieser Punkt "mal" heißen soll, wenn nicht, müsstest du darauf nochmal genauer eingehen.

Dann ist das Produkt der beiden Mengen nach der obigen Definition:

{2,3,4}*{1,2,3}={2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}

b) Vermutlich ist mit [4]_≡ die Äquivalenzklasse der 4 gemeint, also die Menge {4, 15, 26, ..., -7, -18, -29, ...}

Dann ist die Summe selbst wieder die Menge [4]_≡, denn die Element liegen alle um 11 auseinander.

c) Ich denke, du meinst hier [x+y]_≡ = [x]_≡ + [y]_≡, sonst wäre die Aussage nämlich falsch.

[x]_≡ = {k*11+x: k∈ℤ}, [y]_≡={j*11+y: j∈ℤ}

⇒[x]_≡+[y]_≡ = {(k+j)*11+x+y: k, j∈ℤ} = {n*11+x+y: n∈ℤ} = [x+y]_≡

d) Zu zeigen ist, dass jedes Element aus [x]_≡.[y]_≡ auch in [x.y]_≡ enthalten ist.

[x]_≡ = {k*11+x: k∈ℤ}, [y]_≡={j*11+y: j∈ℤ}

⇒ [x]_≡.[y]_≡ = {(k*11+x)*(j*11+y): k, j∈ℤ} = {(kj*121+11*(jx+ky) + x*y): k, j∈ℤ}

Weil 121*kj+11*(jx+ky) eine ganze Zahl ist, ist dieses Element Teilmenge von [x.y]_≡.

e) Die Frage ist nun aber, ob sich jede ganze Zahl bei gegebenem x und y als 11*kj+jx+ky schreiben lässt.

Das Gegenbeispiel ist sehr leicht: Wähle x=y=0.

Nun ist die Menge [x.y]_≡ = [0]_≡ = {0, 11, 22, ...} aber die Menge [x]_≡.[y]_≡ = {0, 121, 11*22, 22², ...} also gilt zwar

[x.y]_≡ ⊇ [x]_≡.[y]_≡

aber

[x.y]_≡ ⊄ [x]_≡.[y]_≡

Answer 2

 

Für Mengen A,B ⊆ ℤ definieren wir:

A + B =_def {z | es gibt ein x ∈ A und y∈ B mit z = x + y}

A.B = _def {z | es gibt ein x ∈ A und y ∈ B mit z = x.y}

Weiterhin sei Ξ ⊆ℤ² die Kongruenzrelation modulo 11.

a.Bestimmen Sie {2,3,4}.{1,2,3}.

Hier ist A={2,3,4} und B = {1,2,3}

Mit . dürfte die Multiplikation in Z gemeint sein.

Nun kann man die Elemente von A.B berechnen: Alles, was sich als Produkt von einem Element aus A und einem aus B berechnen lässt, gehört hier dazu. (Gemäss Definition)

A.B = {2*1,3*1,4*1, 3*1, … 4*3} =          |mehrfache nur einmal aufführen und sortieren

      = {1,2,3,4,6,8,9,12}                          

Da bei Aufgabe a. noch nichts von modulo 11 steht, ist das hier fertig, zudem musst du die 12 stehen lassen.

b.Bestimmen Sie [4] _Ξ + {-11,0,11}.

Hier ist A = [4] _Ξ  und B = {-11,0,11}

Hier ist A = [4] _Ξ  = {  …-18,  -7,4, 15, 26,…} 
Die Restklasse von 4 modulo 11. D.h. Alles, was bei Division durch 11 den Rest 4 hat.

und B = {-11,0,11}

[4] _Ξ + {-11,0,11} = {  …-18,  -7,4, 15, 26,…} +  {-11,0,11} =

{ … -29, -18, -7, -18, -7, 4, -7, 4, 15, 4, 15, 26,…} = 

 {  …-29, -18,  -7,4, 15, 26,…} =  [4] _Ξ

 

Ich hoffe, du verstehst jetzt, was gemeint ist, und kannst den Rest selbst lösen.

Beachte:

c. Musst du korrigieren, sonst klappt das nicht!

c.Zeigen Sie, dass [x+y]_≡ = [x]_≡ +[y]_≡ für alle x,y ∈ ℤ gilt.