Flächeninhalt der Vierecke

Question

Aufgabe:

Das Viereck \( A B C D_{1} \) gehört zu einer Schar von Vierecken \( A B C D_{n} \), die alle denselben Flächeninhalt besitzen. Es gilt: \( A(-2 \mid-2) ; B(4 \mid-3) ; C(3 \mid 1) ; D_{1}(-2,5 \mid 1,5) \)

a) Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem ein und berechne seinen Flächeninhalt \( A_{1} \).

b) Der Eckpunkt \( D_{2} \) des Vierecks \( \mathrm{ABCD}_{2} \) der Schar liegt auf der x-Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes \( D_{2} \) und zeichne das Viereck in das Koordinatensystem zu a) ein.

c) Es gibt ein Viereck der Schar, dessen Eckpunkt \( D_{3} \) auf der \( y \)-Achse liegt. Berechne die Koordinaten des Punktes \( \mathrm{D}_{3} \) und zeichne das Viereck \( \mathrm{ABCD}_{3} \) ebenfalls ein.

d) Was stellst du fest bezüglich der Lage der Punkte \( D_{n} \) ? Begründe geometrisch.

e) Berechne die Gleichung der Geraden, auf der die Punkte \( D_{n} \) liegen.

f) Gib Bedingungen für weitere Eckpunkte \( D_{n} \) von Vierecken \( A B C D_{n} \) an und berechne ihre Koordinaten,

Problem/Ansatz:

Comments

Mit Teil a) solltest du anfangen. Dann überlegst du dir, auf welcher Linie (es ist eine Gerade) die Punkte \(D_n\) liegen müssen, damit alle Vierecke denselben Flächeninhalt besitzen.

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Du hast doch schon etliche solcher Aufgaben gemacht. Was passt denn jetzt schon wieder nicht? Liefere deine konkreten Fragen und deine Ansätze/Rechnungen mit!

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Berechne die Koordinaten des Punktes \( D_{2} \)

Wie soll das denn geschehen?

Die Vierecke sollen doch alle flächeninhaltsgleich sein. Das sind sie, wenn die Punkte \(D_n\) auf der Parallelen zu \(BC\) durch \(D_1\) liegen. Zusätzlich soll \(D_2\) auf der x-Achse liegen. Das genügt zur Berechnung.

Answer 1

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Comments

Zum Berechnen der Flächen nehme ich die Vektorgeometrie

Es gilt bei mir das Kreuzprodukt von zwei 2-dimensionalen Vektoren:

[a, b] ⨯ [c, d] = a·d - b·c

Fläche des Dreiecks ABC

1/2 * (AB ⨯ AC) = 1/2 * (([4, -3] - [-2, -2]) ⨯ ([3, 1] - [-2, -2])) = 11.5

Fläche des Dreiecks ACD1

1/2 * (AC ⨯ AD1) = 1/2 * (([3, 1] - [-2, -2]) ⨯ ([-2.5, 1.5] - [-2, -2])) = 9.5

Fläche des Dreiecks ACD2

1/2 * (AC ⨯ AD2) = 1/2 * (([3, 1] - [-2, -2]) ⨯ ([x, 0] - [-2, -2])) = 9.5 --> x = -5

Fläche des Dreiecks ACD3

1/2 * (AC ⨯ AD3) = 1/2 * (([3, 1] - [-2, -2]) ⨯ ([0, y] - [-2, -2])) = 9.5 → y = 3