Flächeninhalt der Vierecke

Question

Aufgabe:

Das Viereck $A B C D_{1}$ gehört zu einer Schar von Vierecken $A B C D_{n}$, die alle denselben Flächeninhalt besitzen. Es gilt: $A(-2 \mid-2) ; B(4 \mid-3) ; C(3 \mid 1) ; D_{1}(-2,5 \mid 1,5)$

a) Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem ein und berechne seinen Flächeninhalt $A_{1}$.

b) Der Eckpunkt $D_{2}$ des Vierecks $\mathrm{ABCD}_{2}$ der Schar liegt auf der x-Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes $D_{2}$ und zeichne das Viereck in das Koordinatensystem zu a) ein.

c) Es gibt ein Viereck der Schar, dessen Eckpunkt $D_{3}$ auf der $y$-Achse liegt. Berechne die Koordinaten des Punktes $\mathrm{D}_{3}$ und zeichne das Viereck $\mathrm{ABCD}_{3}$ ebenfalls ein.

d) Was stellst du fest bezüglich der Lage der Punkte $D_{n}$ ? Begründe geometrisch.

e) Berechne die Gleichung der Geraden, auf der die Punkte $D_{n}$ liegen.

f) Gib Bedingungen für weitere Eckpunkte $D_{n}$ von Vierecken $A B C D_{n}$ an und berechne ihre Koordinaten,

Problem/Ansatz:

Comments

Mit Teil a) solltest du anfangen. Dann überlegst du dir, auf welcher Linie (es ist eine Gerade) die Punkte $D_n$ liegen müssen, damit alle Vierecke denselben Flächeninhalt besitzen.

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Du hast doch schon etliche solcher Aufgaben gemacht. Was passt denn jetzt schon wieder nicht? Liefere deine konkreten Fragen und deine Ansätze/Rechnungen mit!

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Berechne die Koordinaten des Punktes $D_{2}$

Wie soll das denn geschehen?

Die Vierecke sollen doch alle flächeninhaltsgleich sein. Das sind sie, wenn die Punkte $D_n$ auf der Parallelen zu $BC$ durch $D_1$ liegen. Zusätzlich soll $D_2$ auf der x-Achse liegen. Das genügt zur Berechnung.

Answer 1

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Comments

Zum Berechnen der Flächen nehme ich die Vektorgeometrie

Es gilt bei mir das Kreuzprodukt von zwei 2-dimensionalen Vektoren:

[a, b] ⨯ [c, d] = a·d - b·c

Fläche des Dreiecks ABC

1/2 * (AB ⨯ AC) = 1/2 * (([4, -3] - [-2, -2]) ⨯ ([3, 1] - [-2, -2])) = 11.5

Fläche des Dreiecks ACD1

1/2 * (AC ⨯ AD1) = 1/2 * (([3, 1] - [-2, -2]) ⨯ ([-2.5, 1.5] - [-2, -2])) = 9.5

Fläche des Dreiecks ACD2

1/2 * (AC ⨯ AD2) = 1/2 * (([3, 1] - [-2, -2]) ⨯ ([x, 0] - [-2, -2])) = 9.5 --> x = -5

Fläche des Dreiecks ACD3

1/2 * (AC ⨯ AD3) = 1/2 * (([3, 1] - [-2, -2]) ⨯ ([0, y] - [-2, -2])) = 9.5 → y = 3