Finde meinen Fehler nicht, ist die Ableitung falsch, oder das Umstellen?

Question

Es geht darum folgendes Problem zu lösen: $\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{\frac{\partial}{\partial \sigma} p(x_{i} \vert \mu, \sigma)}{p(x_{i} \vert \mu, \sigma)} \overset{!}{=} 0$ und dann nach $\sigma$ hin auflösen.

wobei $p(x_{i} \vert \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$ ist, also einfach die Normalverteilung.

Für die Ableitung des Zählers habe ich folgendes raus:

$$- \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma^{2}} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \frac{}{} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) \frac{2(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{3}}$$

und nach dem umstellen und kürzen:

 $$(\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}})) (-\frac{1}{\sigma} + \frac{(x_{i} - \mu) ^{2}}{\sigma^{3}})$$

das äußere Produkt ist hier also gleich $p(x_{i} \vert \mu, \sigma)$ was sich erfolgreich in der Summe mit dem Nenner wegkürzt. Es bleibt:

$-\sum\limits^{N}_{i=1} -\frac{1}{\sigma} + \frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{\sigma^{3}} \overset{!}{=} 0$ und nun muss nach $\sigma$ aufgelöst werden.

Eigentlich sollte das jedoch die Abschätzung der Varianz entsprechen, also $\frac{1}{N} \sum\limits^{N}_{i = 1} (x_{i} - \mu)^{2}$. Sprich ich mache einen Fehler, denn auf diese Formel kann man mit der gegebenen Formel nicht kommen soweit ich das sehe. Liegt mein Fehler in der Ableitung? Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Die Ableitung ist falsch.

Die Ableitung von $$e^{-x^{2}} ist -2xe^{-x^{2}}$$

Comments

Hey, danke, wie genau meinst du das? Die Ableitung von $e^{g(x)}$ ist doch $e^{g(x)} * g'(x)$, oder?

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Genau, nur hast Du diese Regel nicht angewandt…

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Genau. Das ist die Kettenregel. Da bei der Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, kann man die Faktoren auch vertauschen.

[e^g(x)]' = e^g(x) * g'(x) = g'(x) * e^g(x)

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Also die entstehende $-2$ habe ich mit dem Ableitungsterm $g'(x)$ selbst multipliziert. Die steht im Zähler, da ich mir dachte so kann man die einfach wegkürzen, außerdem hebt sich das Vorzeichen auf, oder ist mir da ein Fehler unterlaufen?

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Also erst einmal hast Du zwei Terme statt einem, und dann kommt (x-..) im Quadrat vor statt linear - es sind also mehrere Fehler vorhanden. Einfach in Ruhe noch mal den Zähler ableiten.

Mega culpa! Sehe gerade Du leitest ja nach Sigma, nicht nach x ab - sorry. Dann muß ich nochmal lesen…

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Ok, sieht doch alles korrekt aus. Auch Deine letzte Zeile ist korrekt (das minus Zeichen vor der Summe kann weg).

Die Summe kann in zwei Summen zerlegt werden. Der erste Termin ist unabhängig von i, gibt also N/σ, beim zweiten kann der Faktor 1/σ³

vor die Summe gezogen werden und Du bist fast da …

Es war also alle korrekt, ableiten und umformen - nur nicht bis zum Ende umgeformt.

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Vielen Dank!