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Hallo,ich habe eine Frage zum Ende des Beweises.Es geht um das Cauchy-Produkt vonReihen. Die einzelnen Schritte konnteich soweit nachvollziehen. Meine Frageist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.Es seienn=0anundn=0bnabsolut konvergente Reihen.Fu¨nN werde definiertcnk=0akbnk=a0bn+a1bn1+...+anb0.Dann ist auch die Reihen=0cnabsolut konvergent mitn=0cn=(n=0an)(n=0bn).Beweis. Die Definition des Koeffizienten cn la¨sst sich auch so schreiben : cn=cn={akbl : k+l=n}.Es wird dabei u¨ber alle Indexpaare (k,l) summiert, die in N×N auf der Diagonalen k + l = n liegen. Deshalb gilt fu¨r die PartialsummeCnn=0Ncn={akbl : (k,l)ΔN},wobei ΔN das wie folgt definierte Dreieck in N×N ist : ΔN{(k,l)N×N : k+lN}Multiplizieren wir die PartialsummenANn=0Nan          und          BNn=0Nbnaus, erhalten wir als ProduktANBN={akbl : (k,l)QN},wobei QN das QuadratQN{(k,l)N×N : 0kN,0lN}bezeichnet. Da ΔNQN, ko¨nnen wir schreibenANBNCN={akbl : (k,l)QN\ΔN}.Fu¨r die PartialsummenANn=0Nan,    BNn=0Nbnerha¨lt man wie obenANBN={akbl : (k,l)QN}.Da QN/2ΔN, folgt QN\ΔNQN\QN/2, alsoANBNCN{akbl : (k,l)QN\QN/2}=ANBNAN/2BN/2.Da die Folge (ANBN) konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz fu¨r N  gegen 0, d.h.Woherwissenwirdenn,dassdieFolgekonvergiertbzw.auswelcherVoraussetzungfolgtdas?limNCN=limNANBN=limNANlimNBN.\text{Hallo,}\newline\text{ich habe eine Frage zum Ende des Beweises.}\newline\text{Es geht um das Cauchy-Produkt von}\newline\text{Reihen. Die einzelnen Schritte konnte}\newline\text{ich soweit nachvollziehen. Meine Frage}\newline\text{ist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.}\newline\text{Es seien}\,\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n\,und\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n\newline \text{absolut konvergente Reihen.}\newline\text{Für }n\,\in\,\mathbb{N}\text{ werde definiert}\newline c_n\,\coloneqq\,\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kb_{n-k}\,=\,a_0b_n\,+\,a_1b_{n-1}\,+\,...\,+\,a_nb_0.\newline\text{Dann ist auch die Reihe}\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\,\text{absolut konvergent mit}\newline\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\,=\,\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\right)\,\cdot\,\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n\right).\newline\text{Beweis. Die Definition des Koeffizienten }c_n\text{ lässt sich auch so schreiben:}\newline c_n\,=\,\sum\limits_{}^{}c_n\,=\,\sum\{a_kb_l\,:\,k\,+\,l\,=\,n\}.\newline\text{Es wird dabei über alle Indexpaare (k,l) summiert, die in }\mathbb{N}×\mathbb{N}\text{ auf der Diagonalen k + l = n liegen.}\newline\text{ Deshalb gilt für die Partialsumme}\newline C_n\,\coloneqq\,\sum\limits_{n=0}^{N}c_n\,=\,\sum\{a_kb_l\,:\,(k,l)\,\in\,\Delta_N\},\newline\text{wobei }\Delta_N\text{ das wie folgt definierte Dreieck in }\mathbb{N}×\mathbb{N}\text{ ist:}\newline\Delta_N\,\coloneqq\,\{(k,l)\,\in\,\mathbb{N}×\mathbb{N}\,: k+l \leq N\}\newline\text{Multiplizieren wir die Partialsummen}\newline A_N \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}a_n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^{N}b_n\newline\text{aus, erhalten wir als Produkt}\newline A_NB_N = \sum\{a_kb_l:(k,l) \in Q_N\},\newline\text{wobei }Q_N\text{ das Quadrat}\newline Q_N \coloneqq \{ (k, l) \in \mathbb{N}×\mathbb{N}: 0 \leq k \leq N, \, 0 \leq l \leq N\}\newline\text{bezeichnet. Da }\Delta_N \subsetneq Q_N, \text{ können wir schreiben}\newline A_NB_N - C_N = \sum\{a_kb_l:(k,l) \in Q_N \text{\textbackslash}\Delta_N\}.\newline\text{Für die Partialsummen}\newline A_N^* \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}\mid{a_n}\mid,\,\,\,\,B_N^* \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}\mid{b_n}\mid\newline\text{erhält man wie oben}\newline A_N^*B_N^* = \sum\{\mid a_k\mid\mid b_l \mid : (k,l) \in Q_N\}.\newline \text{Da } Q_{\lfloor N/2 \rfloor} \subsetneq \Delta_N, \text{ folgt }Q_N \text{\textbackslash}\Delta_N \subsetneq Q_N \text{\textbackslash}Q_{\lfloor N/2 \rfloor}, \text{ also}\newline\mid A_NB_N - C_N\mid \leq \sum\{\mid a_k \mid \mid b_l\mid:(k,l) \in Q_N \text{\textbackslash}Q_{\lfloor N/2 \rfloor}\}\newline= A_N^*B_N^* - A_{\lfloor N/2 \rfloor}^*B_{\lfloor N/2 \rfloor}^*.\newline\text{Da die Folge }(A_N^*B_N^*)\text{ konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz für N }\to \infty\text{ gegen 0, d.h.}\newline\textcolor{red}{Woher\,wissen\,wir\, denn,\,dass\,die\,Folge\,konvergiert\,bzw.\,aus\,welcher\,Voraussetzung\,folgt\,das?}\newline\lim\limits_{N\to\infty}C_N = \lim\limits_{N\to\infty}A_NB_N = \lim\limits_{N\to\infty}A_N\,\lim\limits_{N\to\infty}B_N.

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Leider funktioniert latex nicht

Hallo, ich habe eine Frage zum Ende des Beweises. Es geht um das Cauchy-Produkt von Reihen. Die einzelnen Schritte konnte ich soweit nachvollziehen. Meine Frage ist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.Es seien n=0an und n=0bn absolut konvergente Reihen.Fu¨nN werde definiert cnk=0akbnk=a0bn+a1bn1++anb0.Dann ist auch die Reihe n=0cn absolut konvergent mit n=0cn=(n=0an)(n=0bn).Beweis. Die Definition des Koeffizienten cn la¨sst sich auch so schreiben :  cn=cn={akbl : k+l=n}.Es wird dabei u¨ber alle Indexpaare (k,l) summiert, die in N×N auf der Diagonalen k+l=n liegen.Deshalb gilt fu¨r die Partialsumme Cnn=0Ncn={akbl : (k,l)ΔN},wobei ΔN das wie folgt definierte Dreieck in N×N ist :  ΔN{(k,l)N×N : k+lN}Multiplizieren wir die Partialsummen ANn=0Nan und BNn=0Nbn aus, erhalten wir als ProduktANBN={akbl : (k,l)QN},wobei QN das Quadrat QN{(k,l)N×N : 0kN,0lN} bezeichnet.Da ΔNQN, ko¨nnen wir schreiben ANBNCN={akbl : (k,l)QNΔN}.Fu¨r die Partialsummen ANn=0Nan,BNn=0Nbn erha¨lt man wie obenANBN={akbl : (k,l)QN}.Da QN/2ΔN, folgt QNΔNQNQN/2, alsoANBNCN{akbl : (k,l)QNQN/2}=ANBNAN/2BN/2.Da die Folge (ANBN) konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz fu¨N gegen 0, d.h.Woher wissen wir denn, dass die Folge konvergiert bzw. aus welcher Voraussetzung folgt das?limNCN=limNANBN=limNANlimNBN.\text{Hallo, ich habe eine Frage zum Ende des Beweises. Es geht um das Cauchy-Produkt von Reihen. Die einzelnen Schritte konnte ich soweit nachvollziehen. Meine Frage ist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.} \\ \text{Es seien } \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n \text{ und } \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n \text{ absolut konvergente Reihen.} \\ \text{Für } n \in \mathbb{N} \text{ werde definiert } c_n \coloneqq \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kb_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \ldots + a_nb_0. \\ \text{Dann ist auch die Reihe } \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n \text{ absolut konvergent mit } \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n = \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\right) \cdot \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n\right). \\ \text{Beweis. Die Definition des Koeffizienten } c_n \text{ lässt sich auch so schreiben: } \\ c_n = \sum\limits_{}^{}c_n = \sum\{a_kb_l : k + l = n\}. \\ \text{Es wird dabei über alle Indexpaare } (k,l) \text{ summiert, die in } \mathbb{N} \times \mathbb{N} \text{ auf der Diagonalen } k + l = n \text{ liegen.} \\ \text{Deshalb gilt für die Partialsumme } C_n \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}c_n = \sum\{a_kb_l : (k,l) \in \Delta_N\}, \\ \text{wobei } \Delta_N \text{ das wie folgt definierte Dreieck in } \mathbb{N} \times \mathbb{N} \text{ ist: } \\ \Delta_N \coloneqq \{(k,l) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : k+l \leq N\} \\ \text{Multiplizieren wir die Partialsummen } A_N \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}a_n \text{ und } B_N \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}b_n \text{ aus, erhalten wir als Produkt} \\ A_NB_N = \sum\{a_kb_l : (k,l) \in Q_N\}, \\ \text{wobei } Q_N \text{ das Quadrat } Q_N \coloneqq \{ (k, l) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : 0 \leq k \leq N, \, 0 \leq l \leq N\} \text{ bezeichnet.} \\ \text{Da } \Delta_N \subsetneq Q_N, \text{ können wir schreiben } A_NB_N - C_N = \sum\{a_kb_l : (k,l) \in Q_N \setminus \Delta_N\}. \\ \text{Für die Partialsummen } A_N^* \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}\mid{a_n}\mid, \, B_N^* \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}\mid{b_n}\mid \text{ erhält man wie oben} \\ A_N^*B_N^* = \sum\{\mid a_k\mid\mid b_l \mid : (k,l) \in Q_N\}. \\ \text{Da } Q_{\lfloor N/2 \rfloor} \subsetneq \Delta_N, \text{ folgt } Q_N \setminus \Delta_N \subsetneq Q_N \setminus Q_{\lfloor N/2 \rfloor}, \text{ also} \\ \mid A_NB_N - C_N\mid \leq \sum\{\mid a_k \mid \mid b_l\mid : (k,l) \in Q_N \setminus Q_{\lfloor N/2 \rfloor}\} \\ = A_N^*B_N^* - A_{\lfloor N/2 \rfloor}^*B_{\lfloor N/2 \rfloor}^*. \\ \text{Da die Folge } (A_N^*B_N^*) \text{ konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz für } N \to \infty \text{ gegen 0, d.h.} \\ \textcolor{red}{\text{Woher wissen wir denn, dass die Folge konvergiert bzw. aus welcher Voraussetzung folgt das?}} \\ \lim\limits_{N\to\infty}C_N = \lim\limits_{N\to\infty}A_NB_N = \lim\limits_{N\to\infty}A_N \lim\limits_{N\to\infty}B_N.

Zur frage: da die Reihen absolut konvergieren ,konvergieren auch die folgen der partialsummen absolut.

Hallo,

danke für Ihre Antwort. Dass das Produkt der Partialsummen zweier absolut konvergenter Reihen konvergiert, müsste man dann wahrscheinlich separat beweisen, oder?


Wissen Sie, warum mathelounge meinen latexcode nicht umwandelt. Ein anderer Nutzer meinte, es würde an den Zeilenumbrüchen durch \\ liegen. Deswegen habe ich \newline verwendet, aber das scheint auch nicht zu funktionieren. Wie konnten Sie denn jetzt den Code in Ihrem Kommentar umwandeln?

Nein, das Produkt zweier konvergenter Folgen konvergiert immer und der Grenzwert ist das Produkt der Grenzwerte.

Im wesentlichen die \newline störten. Hier zum Vergleich:


\text{Hallo, ich habe eine Frage zum Ende des Beweises. Es geht um das Cauchy-Produkt von Reihen. Die einzelnen Schritte konnte ich soweit nachvollziehen. Meine Frage ist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.} \\

\text{Es seien } \sum \limitsn=0\inftya_n \text{ und } \sum\limitsn=0\inftyb_n \text{ absolut konvergente Reihen.} \\
\text{Für } n \in \mathbb{N} \text{ werde definiert } c_n \coloneqq \sum\limitsk=0\inftya_kbn-k = a_0b_n + a_1bn-1 + \ldots + a_nb_0. \\
\text{Dann ist auch die Reihe } \sum\limitsn=0\inftyc_n \text{ absolut konvergent mit } \sum\limitsn=0\inftyc_n = \left(\sum\limitsn=0\inftya_n\right) \cdot \left(\sum\limitsn=0\inftyb_n\right). \\

\text{Beweis. Die Definition des Koeffizienten } c_n \text{ lässt sich auch so schreiben: } \\
c_n = \sum\limitsc_n = \sum\{a_kb_l : k + l = n\}. \\
\text{Es wird dabei über alle Indexpaare } (k,l) \text{ summiert, die in } \mathbb{N} \times \mathbb{N} \text{ auf der Diagonalen } k + l = n \text{ liegen.} \\
\text{Deshalb gilt für die Partialsumme } C_n \coloneqq \sum\limitsn=0Nc_n = \sum\{a_kb_l : (k,l) \in \Delta_N\}, \\
\text{wobei } \Delta_N \text{ das wie folgt definierte Dreieck in } \mathbb{N} \times \mathbb{N} \text{ ist: } \\
\Delta_N \coloneqq \{(k,l) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : k+l \leq N\} \\

\text{Multiplizieren wir die Partialsummen } A_N \coloneqq \sum\limitsn=0Na_n \text{ und } B_N \coloneqq \sum\limitsn=0Nb_n \text{ aus, erhalten wir als Produkt} \\
A_NB_N = \sum\{a_kb_l : (k,l) \in Q_N\}, \\
\text{wobei } Q_N \text{ das Quadrat } Q_N \coloneqq \{ (k, l) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : 0 \leq k \leq N, \, 0 \leq l \leq N\} \text{ bezeichnet.} \\
\text{Da } \Delta_N \subsetneq Q_N, \text{ können wir schreiben } A_NB_N - C_N = \sum\{a_kb_l : (k,l) \in Q_N \setminus \Delta_N\}. \\

\text{Für die Partialsummen } A_N^* \coloneqq \sum\limitsn=0N\mid{a_n}\mid, \, B_N^* \coloneqq \sum\limitsn=0N\mid{b_n}\mid \text{ erhält man wie oben} \\
A_N^*B_N^* = \sum\{\mid a_k\mid\mid b_l \mid : (k,l) \in Q_N\}. \\
\text{Da } Q\lfloor N/2 \rfloor \subsetneq \Delta_N, \text{ folgt } Q_N \setminus \Delta_N \subsetneq Q_N \setminus Q\lfloor N/2 \rfloor, \text{ also} \\
\mid A_NB_N - C_N\mid \leq \sum\{\mid a_k \mid \mid b_l\mid : (k,l) \in Q_N \setminus Q\lfloor N/2 \rfloor\} \\
= A_N^*B_N^* - A\lfloor N/2 \rfloor^*B\lfloor N/2 \rfloor^*. \\
\text{Da die Folge } (A_N^*B_N^*) \text{ konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz für } N \to \infty \text{ gegen 0, d.h.} \\
\textcolor{red}{\text{Woher wissen wir denn, dass die Folge konvergiert bzw. aus welcher Voraussetzung folgt das?}} \\
\lim\limitsN\to\inftyC_N = \lim\limitsN\to\inftyA_NB_N = \lim\limitsN\to\inftyA_N \lim\limitsN\to\inftyB_N.

Noch eine Erfahrung zum Zeilenumbruch: Wenn in $$...$$\$\$ ...\$\$ das Zeilenumbruch-Symbol \\ verwendet wird und dann ein Zeilenwechsel durch die return-Taste, funktioniert das nicht - immer?

Im übrigen halte ich es für ungeschickt, den ganzen Text als "Formel" zu deklarieren.

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