Hallo,ich habe eine Frage zum Ende des Beweises.Es geht um das Cauchy-Produkt vonReihen. Die einzelnen Schritte konnteich soweit nachvollziehen. Meine Frageist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.Es seienn=0∑∞anundn=0∑∞bnabsolut konvergente Reihen.Fu¨r n∈N werde definiertcn : =k=0∑∞akbn−k=a0bn+a1bn−1+...+anb0.Dann ist auch die Reihen=0∑∞cnabsolut konvergent mitn=0∑∞cn=(n=0∑∞an)⋅(n=0∑∞bn).Beweis. Die Definition des Koeffizienten cn la¨sst sich auch so schreiben : cn=∑cn=∑{akbl : k+l=n}.Es wird dabei u¨ber alle Indexpaare (k,l) summiert, die in N×N auf der Diagonalen k + l = n liegen. Deshalb gilt fu¨r die PartialsummeCn : =n=0∑Ncn=∑{akbl : (k,l)∈ΔN},wobei ΔN das wie folgt definierte Dreieck in N×N ist : ΔN : ={(k,l)∈N×N : k+l≤N}Multiplizieren wir die PartialsummenAN : =n=0∑NanundBN : =n=0∑Nbnaus, erhalten wir als ProduktANBN=∑{akbl : (k,l)∈QN},wobei QN das QuadratQN : ={(k,l)∈N×N : 0≤k≤N,0≤l≤N}bezeichnet. Da ΔN⊊QN, ko¨nnen wir schreibenANBN−CN=∑{akbl : (k,l)∈QN\ΔN}.Fu¨r die PartialsummenAN∗ : =n=0∑N∣an∣,BN∗ : =n=0∑N∣bn∣erha¨lt man wie obenAN∗BN∗=∑{∣ak∣∣bl∣ : (k,l)∈QN}.Da Q⌊N/2⌋⊊ΔN, folgt QN\ΔN⊊QN\Q⌊N/2⌋, also∣ANBN−CN∣≤∑{∣ak∣∣bl∣ : (k,l)∈QN\Q⌊N/2⌋}=AN∗BN∗−A⌊N/2⌋∗B⌊N/2⌋∗.Da die Folge (AN∗BN∗) konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz fu¨r N →∞ gegen 0, d.h.Woherwissenwirdenn,dassdieFolgekonvergiertbzw.auswelcherVoraussetzungfolgtdas?N→∞limCN=N→∞limANBN=N→∞limANN→∞limBN.