Cauchy–Produkt der Reihen

Question

Aufgabe:

Sei $$ a \in \mathbb{R} $$

Betrachte $$F(s) := \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}$$ Zeigen Sie , dass fur beliebige $$ a,b \in \mathbb{R} $$ R das
Cauchy–Produkt der Reihen $$F(a)$$ und $$F(b)$$ mit der Reihe $$F(a+b)$$  ubereinstimmt

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Aufgabe Lösen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass fur beliebige ¨ a, b ∈ R dass

Stichworte: cauchy-folge

Aufgabe:

Sei a ∈ R. Betrachte F(a) = ∑^inf_{n=0    (a}ⁿ ) /n! .  . Zeigen Sie, dass fur beliebige ¨ a, b ∈ R  das
Cauchy–Produkt der Reihen F(a) und F(b) mit der Reihe F(a+b) übereinstimmt

Answer 1

Indem du das Cauchy Produkt ausrechnest? :P

\( \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{y^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^n~\frac{x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^n~\frac{x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!}\cdot~\frac{n!}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} ~\frac{x^ky^{n-k}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{(x+y)^n}{n!} \)