Flächenberechnung Dreieck im Kreis / zusammengesetzte Formen

Question

Aufgabe:

Wie rechne ich die Fläche des Dreieckes aus? Habe bereits versucht, doch das Resultat stimmt nicht mit der Musterlösung überein.

Problem/

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(Grundlinie mal Höhe)/2

Die Höhe berechnet man mittels Pythagoras.

Kreis und r dienen nur zur Verwirrung oder werden für andere Fragen benötigt.

Answer 1

Planfigur:

Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende hier die Höhe $h_c$ im Verhältnis $1:2$

Der Radius ist $r=10$. Somit ist die Höhe $h_c=15$LE

Satz des Pythagoras $(h_c )^2+(\frac{c}{2})^2=b^2$

Im gleichseitigen Dreieck ist $a=b=c$

$(h_c )^2+(\frac{c}{2})^2=c^2$

Nun kannst du $c$ berechnen und damit auch die Fläche des Dreiecks.

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Hier ist es günstiger, direkt von Anfang an nur mit der Seite $a$ zu arbeiten. Ansonsten die beste Antwort, da sie auf Trigonometrie verzichtet (man beachte die anderen Fragen des FS).

Answer 2

Drei kongruenten Teildreiecke, zwei Seiten haben je die Länge 10, dazwischen ein 120°-Winkel.

Diese Formel (Quelle: Wikipedia) sollte bekannt sein:

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Die Aufgabe verlangt, dass sie ohne additionale Formeln gelöst werden sollte, also nur die Grundformeln.

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Erstens: Das IST eine Grundformel (die Schüler nach Klasse 10 nur gern vergessen).

Zweitens: Zeige den Scan, wo das von dir Behauptete steht.

Drittens: Wenn du weißt (Klasse 7), dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilen, hat das Gesamtdreieck schon mal die Höhe 15.

Die Grundseite s bekommst du dann raus über s² + (0,5s)²=15².

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Erstens: Das IST eine Grundformel (die Schüler nach Klasse 10 nur gern vergessen).

Wird oft gar nicht erst gelehrt. Jedenfalls nicht in NRW.

Answer 3

A = 3·1/2·10·10·sin(120°) = 75·√3 ≈ 129.9 FE

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Hier evtl. noch ein anderer Weg über die Grundformel A = 1/2·g·h

sin(30°) = h/10 --> h = 5

cos(30°) = 0.5s/10 --> s = 10·√3

A = 3·1/2·(10·√3)·5 = 75·√3 ≈ 129.9 FE

Answer 4

Ein Kreissegment (die dunkelgraue Fläche) hat den Flächeninhalt

$\displaystyle A_{\text{Segment}} = \frac{r^2}{2} \cdot (\underbrace{\alpha - \sin{\alpha}}_{\text{im Bogenmaß}})$ wobei $\alpha = 120^\circ$

und die drei Segmente somit $A_{\text{dunkelgrau}}= 100\pi -75 \sqrt{3}$.

Der Kreis hat den Flächeninhalt $A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = 100\pi$.

Subtrahiere das eine vom anderen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist $A= 75 \sqrt{3}$.