Wie muss x gewählt werden, damit die Rechtecksfläche maximal wird?

Question

Der Eckpunkt $P(x \mid y)$ des abgebildeten achsenparallelen Rechtecks liegt auf der Geraden $f(x)=3-\frac{x}{2}$. Wie muss $x$ gewählt werden, damit die Rechtecksfläche maximal wird?

Answer 1

$f(x) = 3 - 0,5\cdot x$

Rechteckfläche $A(x)=x\cdot f(x)=x(3 - 0,5\cdot x)$ soll maximal werden.

Einschub:

$A(x)=3x - 0,5\cdot x^2)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel und die hat nur einen Hochpunkt und keinen Tiefpunkt.

...

Lösungsweg ohne Ableitung:

Nullstellen von $A(x)$

$x(3 - 0,5\cdot x)=0$    Satz vom Nullprodukt:

$x_1=0$

$x_2=6$

Nun liegt die Extremstelle einer Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen

$x_E=3$  →  $f(3) = 3 - 0,5\cdot 3=1,5$

Die maximale Rechteckfläche ist $A(3)=3\cdot (3 - 0,5\cdot 3)=4,5$FE

Comments

Unvollständig, siehe Lösung von mc

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Jetzt wird´s wohl stimmen.

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Nein.                         .

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Die Frage lautet:"Wie muss $x$ gewählt werden, damit die Rechtecksfläche maximal wird?"

Das habe ich aufgeschrieben.

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Deine Lösung ist logisch nicht vollständig. Nochmal der Tipp (hast Du wohl überlesen): Vergleiche mit der Lösung von mc. Schaffst Du bestimmt.

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notwendig ≠ hinreichend

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Leider schaffe ich es nicht, Ich habe ja nicht den Weg über die Ableitung genommen. Oder muss ich jetzt noch zeigen, dass es sich um einen Hochpunkt handelt?

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Ja. Und überlege mal warum.

Mit "schaffen" meinte ich den Vergleich mit der Lösung von mc. Gehe das gründlich durch und wenn mc was überflüssiges in der Lösung hat, schreibe ihm einen Kommentar.

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Ich finde nicht Überflüssiges bei ihm.

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Ich finde nicht Überflüssiges bei ihm.

Die 2. Ableitung hätte es nicht gebraucht, aber manche Lehrer legen darauf, mehr Wert als zu erwähnen, dass es eine nach unten geöffnete Parabel ist.

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Ich finde nicht Überflüssiges bei ihm

Gut, dann ist dir ja auch klar was bei deiner Lösung fehlt.

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Um zu zeigen, dass der HP wirklich bei HP$(3|4,5)$ liegt, wähle ich den y-Wert bei $y=5$:

$5=x(3 - 0,5\cdot x)=3x-0,5x^2$

$3x-0,5x^2=5|\cdot (-2)$

$x^2-6x=-10$  quadratische Ergänzung und 2.Binom

$(x-3)^2=-10+9=-1=i^2|±\sqrt{~~}$

Es gibt da keine Lösungen mehr ∈ ℝ

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mit Verlaub, das ist wieder ein typischer Moliets, von hinten durch die Brust geschossen…

Die Parabel ist nach unten geöffnet, ist doch sonst Deine Spezialität.

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Dass die Parabel ist nach unten geöffnet ist, war mir schon bei meiner  Antwort klar. Darum hatte ich auch keine spezielle Erläuterung dazu.

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Es geht aber nicht darum, was DIR klar ist. Wir wissen, Du schreibst die Lösungen nur für Dich selbst. Aber dann tu doch wenigstens ein bisschen so, als wäre es auch für jemanden gedacht, dem nicht schon alles klar ist.

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Ich dachte, Du machst die Lösungen für andere?

Dann gehören die nachvollziehbare Erklärungen selbstverständlich dazu.

Sei es der Hinweis auf eine nach unten geöffnete Parabel und was daraus folgt oder die Nichtexistenz von reellen Lösungen von irgendwelchen quadratische Gleichungen und was das wiederum bedeutet.

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Und was ist, wenn $y=4, 9$?

Das meinst du doch wohl bitte nicht ernst...

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Und was ist, wenn $y=4, 9$?

Dann gibt keine Lösungen in ℝ.

Ich habe mich verschrieben.

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Oh mein Gott …

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Dann ist der Extremwert ja doch nicht bei 4,5.

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Na, ob verschrieben sei jetzt mal dahingestellt.

Was ist dann mit $y=4,8$? Oder $y=4,6234$?

Merkst du, dass dein "Beweis" keiner ist?

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Hier sind mal wieder die per Eigendeklaration besten Mathematiker aller Zeiten unterwegs, die sich damit brüsten Aufgaben auf Klasse 10 Niveau lösen zu können. Anstatt den Hinweis auf die quadratische Ergänzung zu geben wird rum genölt und unnötiger Stress erzeugt. Eigentlich fehlt noch ein Kommentar von Abakus.

Die Funktion

$$A(x) = x \left(3 - \frac{1}{2}x \right)$$ kann mittels quadratische Ergänzung auch geschrieben werden als

$$A(x) = -\frac{1}{2} \left[ (x-3)^3 - 9 \right] = -\frac{1}{2} (x-3)^2 + \frac{9}{2}$$

Daraus sieht man das die Funktion bei $x=3$ ihr Maximum $A(3) = \frac{9}{2}$ annimmt.

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Anstatt den Hinweis auf die quadratische Ergänzung zu geben wird rum genölt und unnötiger Stress erzeugt.

Ich verstehe nicht, warum du fachlich schlechte oder unvollständige Antworten verteidigst. Es geht in dieser Diskussion gar nicht darum, dass man den Hochpunkt auch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hätte ermitteln können. Moliets hat eben den Weg über die Nullstellen gewählt, was soweit auch vollkommen legitim ist. Ein Hinweis auf die von dir erwähnte quadratische Ergänzung hätte die Antwort qualitativ nicht besser gemacht, da hier eben ein anderer Ansatz gewählt wurde.

Eine Antwort zu bemängeln, indem man einfach einen anderen Ansatz vorschlägt, ist nicht zielführend. Nur dann, wenn der Ansatz völliger Humbug ist, was er in diesem Fall ja nicht ist. Nur die Ausführung bzw. mathematische Argumentation weist Lücken auf, auf die hier entsprechend hingewiesen wurde.

Die Kommentare von Moliets zeigen aber auch ganz eindrucksvoll, dass er sich dessen überhaupt nicht bewusst ist und die notwendige Beweisführung nicht vollständig verstanden hat: Die Angabe einer oberen Schranke (ich wähle $y=5$) ist eben kein Beweis für das Maximum. Und solch ein Fauxpas muss und sollte auch entsprechend kritisiert werden. Immerhin lesen hier auch Menschen, die noch viel weniger von der Mathematik verstehen als diejenigen, die hier meinen, genug davon zu verstehen...

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Ich denke, Ihr habt Euch auf diese Person eingeschossen weil es Euch Spass macht und er sich nicht richtig wehren kann. Konstruktive Kritik sieht anders aus. Lies die Kommentare mal.

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Ich möchte abschließend noch sagen, dass ich die Antwort für FS geschrieben habe, die noch keine Ableitung hatten.Ob diese nun einen Beweis für den HP benötigen, wage ich anzuzweifeln.

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Man kann nicht Teile der vollständigen Lösung einfach nach Belieben weglassen. Es fehlt einfach an grundlegendem Verständnis für logische Zusammenhänge im math. Vorgehen. Konstruktiver Vorschlag (Achtung 3XL): Arbeite entsprechende Bücher für Dich gründlich durch, bevor Du weiter versuchst zu helfen. Den Weg sind wir alle mal gegangen, der kann nicht übersprungen werden.

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Ich möchte abschließend noch sagen, dass ich die Antwort für FS geschrieben habe, die noch keine Ableitung hatten.Ob diese nun einen Beweis für den HP benötigen, wage ich anzuzweifeln.

In der Regel werden derartige Aufgaben dann gar nicht erst gestellt, weshalb deine Intention ohnehin ins Leere führt.

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In der Regel werden derartige Aufgaben dann gar nicht erst gestellt, weshalb deine Intention ohnehin ins Leere führt.

So ist es natürlich auch möglich, jemanden mit einer unbewiesenen Behauptung abzubügeln.

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Du kannst dazu gerne in die gängigen und aktuellen Schulbücher schauen. Das Thema "Extremwertaufgaben" (es sind auch andere Begriffe gebräuchlich) findet man dort überwiegend im Bereich des Oberstufenschulstoffs nach Behandlung des Ableitungsbegriffs. Außerdem schrieb ich ja von "in der Regel" und nicht davon, dass es immer so ist.

Answer 2

f(x) = 3 - 1/2·x

Für die Rechtecksfläche gilt nun

A(x) = x·f(x) = x·(3 - 1/2·x) = 3·x - 1/2·x²

A(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, die genau einen Hochpunkt hat. Hiervon ist die x-Koordinate zu bestimmen.

A'(x) = 3 - x = 0 → x = 3

A''(x) = -1 → HP