Orthogonalität prüfen von Gerade und Ebene

Question

Aufgabe:

Ich hätte eine Frage bezüglich der Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene. Warum nimmt man nicht das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem Normalvektor der Ebenen, sondern stellt ein LGS auf wo man beide gleichsetzt?

Der Normalvektor:( 2x1 /ax2 / -2ax3)

und die Gerade= g:X = (-2 / -1 / 3) +r * (2 /3 /-6)

Comments

Was soll denn beim Skalarprodukt dann herauskommen?

---

Es müsste Null herauskommen

---

Dss dachte ich mir, das Du das glaubst :-)

Steht denn die Gerade senkrecht auf dem Normalenvektor?

---

Also, ich weiß nicht, man soll ja a so bestimmen, dass die Gerade orthogonal zur Ebene ist, also senkrecht

---

Die Gerade soll senkrecht auf der Ebene stehen, der Normalenvektor macht das auch, das Skalarprodukt ist also nicht Null. Der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor sind parallel. Poste mal die vollständige Aufgabe.

---

Das war schon die aufgabe, nur das die ebene so lautet: E: 2x1+ax2-2ax3= 8a

---

Wie gesagt, der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor müssen dann parallel oder identisch sein, damit die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

Da der Richtungsvektor (2/3/-6) lautet und der Normalenvektor (2/a/-2a) ist die Lösung offensichtlich a=3, dann sind beide gleich.

Answer 1

Zunächst ist wohl [2, a, -2a] und nicht [2x1, ax2, -2ax3] der Normalenvektor.

Und damit die Gerade orthogonal zur Ebene ist sollte der Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors sein.

Also

k·[2, a, -2a] = [2, 3, -6] → a = 3, k = 1

Für a = 3 ist die Gerade senkrecht zur Ebene.