Aloha :)
Ich verwende im Folgenden das Symbol \(E\) für die (kanonische) Standardbasis \(B_0^3\), um mir Indizes zu sparen. Die kanonischen Basisvektoren seien entsprechend \(\vec e_1,\vec e_2\) und \(\vec e_3\).
Die Basisvektoren von \(B\) sind in Koordinaten relativ zur Standardbasis \(E\) angegeben, denn zum Zeitpunkt der Definition von \(\vec b_1,\vec b_2\) und \(\vec b_3\) ist noch keine andere Basis definiert:
$$\vec b_1\equiv\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}_E\quad;\quad \vec b_2\equiv\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}_E\quad;\quad \vec b_3\equiv\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_E$$
zu a) Gesucht ist die Abbildungsmatrix \(A_{BB}^f\). Diese Matrix erwartet Eingangsvektoren, deren Komponenten bezüglich der Basis \(B\) angegeben sind, und liefert Ausgangsvektoren, deren Komponenten bezüglich der Basis \(B\) angegeben sind. Abbildungsmatrizen enthalten immer die Bilder der Basisvektoren als Spalten.
$$f(\vec b_1)=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}_E=2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}_E=2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}_B$$
$$f(\vec b_2)=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}_E=0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}_B$$
$$f(\vec b_3)=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}_E=3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_E=3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}_B$$
Wir tragen die Bilder der Basisvektoren als Spalten in die Abbildungsmatrix ein:$$A_{BB}^f=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$
zu b) Nun sollen wir die Abbildungsmatrix \(A_{EE}^f\) bestimmen. Dazu müssen wir die Vektoren ermitteln, auf die die Basisvektoren von \(E\) abgebildet werden. Dazu nutzen wir die Linearität der Abbildung aus.
$$f(\vec e_1)=f(\vec b_1-2\vec b_2+\vec b_3)=f(\vec b_1)-2f(\vec b_2)+f(\vec b_3)=\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}_E$$$$f(\vec e_2)=f(\vec b_2-2\vec b_3)=f(\vec b_2)-2f(\vec b_3)=\begin{pmatrix}0\\0\\-6\end{pmatrix}_E$$$$f(\vec e_3)=f(\vec b_3)=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}_E$$
Wir tragen die Bilder wieder als Spalten in die Abbildungsmatrix ein:$$A_{EE}^f=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\4 & 0 & 0\\9 & -6 & 3\end{array}\right)$$
zu c) Eine Basis (es gibt unendlich viele) des Bildes erhältst du, indem du alle linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix herausrechnest. Das geht sehr schnell mittels elementarer Spaltenumformungen:
$$\begin{array}{rrr}-3S_3 & +2S_3 & \\\hline2 & 0 & 0\\4 & 0 & 0\\9 & -6 & 3\end{array}\to\begin{array}{rrr}\div2 & & \div3 \\\hline2 & 0 & 0\\4 & 0 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\to\begin{array}{rrr}\vec a_1 & & \vec a_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}$$Die beiden verbliebenen Vektoren \(\vec a_1\) und \(\vec a_2\) bezüglich \(E\) sind eine mögliche Basis des Bildes der Abbildung.
Den Kern einer linearen Abbildung bilden alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Wir lösen daher das folgende lineare Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 0 & 0 & 0 &\div2\\4 & 0 & 0 & 0 & \div4\\9 & -6 & 3 & 0 & \div3 \\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 0 & 0 & 0 & -\text{Zeile 1}\\3 & -2 & 1 & 0 & -3\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_1=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\0 & -2 & 1 & 0 &\Rightarrow-2x_2+x_3=0\end{array}$$Die zweite Gleichung ist stets erfüllt. Die beiden verbliebenen Gleichungen fordern:$$x_1=0\quad\text{und}\quad x_3=2x_2$$Damit können wir alle Vektoren angeben, die von der Abbildung "genullt" werden:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\x_2\\2x_2\end{pmatrix}=x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}_{\eqqcolon \vec k}$$Der Richtungsvektor \(\vec k\) bezüglich \(E\) ist ein möglicher Basisvektor des Kerns der Abbildung.
