Frage: Wenn X unendlichdimensional ist, ist dann das Bild T(X) unter dem kompakten Operator T endlichdimensional?

Question

Sei X ein Banachraum und T : X —> X ein linearer stetiger kompakter Operator auf X.
Frage: Wenn X unendlichdimensional ist, ist dann das Bild T(X) endlichdimensional?
Wenn ja, kann das jemand erklären bzw. beweisen?

Comments

Wäre es nicht freundlich oder höflich, auf die Antworten zu Deiner vorherigen Aufgabe, die Du falsch formuliert, hast einzugehen?

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Die Antwort auf Drine Frage ist: Im Allgemeinen nicht.

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Hast Du ein Gegenbeispiel?

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Welche kompakte Operatoren kennst Du denn?

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Keine irgendwie

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Der Raum l² wird immer gerne für solche Beispiele herangezogen…

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Das allererste, was man bei Aufgaben tun sollte, ist die unklaren Begriffe zu klären. Wie kannst Du sonst erwarten eine Lösung zu finden? Und dann probiert man mal Beispiele aus.

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Danke user26605, ich habe nun ein Gegenbeispiel gefunden :)

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nudger mir ist der Begriff schon klar. Ich kannte einfach kein Gegenbeispiel dazu, da wir keins gemacht haben und es nur formell definiert und Eigenschaften davon bewiesen haben.

Ich habe ausserdem diesmal keine Gegenbeispiel ausprobiert, da ich davon ausgegangen bin, dass die Aussage i.A. gilt.

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Man probiert ja Beispiele aus, um die Aussage zu verstehen. Dann stellen sich Vermutungen ein, ob die Aussage gelten kann oder eher nicht. Du hast gesagt, Du kennst keinen einzigen kompakten Operator, dann wird es schwierig. Dann ist aber der Begriff doch unklar, und es geht erstmal weg von der Aufgabe. Man nimmt dann irgendeinen Operator und schaut mal, ob der kompakt ist. So ist das sinnvolle Vorgehen bei Mathe-Aufgaben generell.

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Im übrigen wundert es mich, dass in einem Lehr/Lern-Kontext kompakte Operatoren eingeführt und Eigenschaften untersucht werden, ohne dass ein Beispiel genannt wird.