Wie heissen die Eckpunkte der Deckfläche?

Question

Aufgabe:

Über dem Dreieck A(7/1/6) B(-9/-1/-2) und C(-1/-9/2) wird ein Prisma mit dem Volumen von 2000 aufgestellt. Wie heissen die Eckpunkte der Deckfläche?

Problem/Ansatz:

Die Fläche des Dreiecks beträgt 40\( \sqrt{5} \) also muss die Höhe des Prismas 2000/40\( \sqrt{5} \) = 50\( \sqrt{5} \)  sein.

Wie komme ich nun mit der Höhe des Prismas zu den drei Punkten?

Comments

Sehr seltsam. Wie sie heissen, liegt im Ermessen des Beschrifters. Man könnte sie D, E und F nennen. Oder sonstwie.

Eine andere Frage wäre, welche Koordinaten sie haben. Diesfalls wäre es noch essentiell zu wissen, ob es ein gerades oder ein schiefes Prisma ist. Wenn gerade, dann gibt es zwei Lösungen, jenachdem auf welcher Seite von der Grundfläche die Deckfläche ist. Klarer formuliert ist die Aufgabenstellung bspw. bei https://www.mathelounge.de/820814/

Und bei Deiner Berechnung fehlen Klammern um den Divisor, was zu einem falschen Ergebnis geführt hat, selbst wenn der Flächeninhalt richtig wäre.

Answer 1

Bestimme der Normalenvektor der Grundfläche (z.B. mit \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)) und schau mal, welchen Betrag der hat. Wenn du ihn auf die richtige Länge bringst, wird das dein Vektor \(\overrightarrow{AD} \) bzw. \(\overrightarrow{DE} \) bzw. \(\overrightarrow{CF} \).

PS: 2000/(40\( \sqrt{5}) \) ist nicht 50\( \sqrt{5} \)  , sondern 10\( \sqrt{5} \) .

Ich habe für die Dreiecksfläche allerdings 36\( \sqrt{5} \) heraus.

Comments

Mir ist ein Fehler unterlaufen beim abtippen der Übung... sorry

Der Punkt B ist (-9/1/-2)

Und ja die Höhe ist 10\( \sqrt{5} \) habe die Klammer vergessen.

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Zur Kontrolle: Die Eckpunkte der Deckfläche lauten:

\( \begin{array}{c} A^{\prime}(-3,1,26) \\ B^{\prime}(-19,1,18) \\ C^{\prime}(-11,-9,22) \end{array} \)

Annahme war natürlich ein gerades Prisma.

Answer 2

AB = [-16, 0, -8]
AC = [-8, -10, -4]

Volumen

1/2·[-16, 0, -8] ⨯ [-8, -10, -4] = [-40, 0, 80]
[-40, 0, 80]·k·[-40, 0, 80] = 2000 → k = 0.25

Richtungsvektor AD

AD = 0.25·[-40, 0, 80] = [-10, 0, 20]

Ortsvektoren der Punkte der Deckfläche

D = [7, 1, 6] + [-10, 0, 20] = [-3, 1, 26]
E = [-9, 1, -2] + [-10, 0, 20] = [-19, 1, 18]
F = [-1, -9, 2] + [-10, 0, 20] = [-11, -9, 22]