Aloha :)
Das Betragszeichen ist lästig, daher überlegen wir uns, dass Folgendes gilt:$$|x-1|\le1\implies-1\le x-1\le1\stackrel{+1}{\implies}0\le x\le2$$Damit schreiben wir die Funktion \(g\) etwas anders auf:$$g(x)=\left\{\begin{array}{cl}(x-1)^2+1 & \text{für }x<0\\[1ex]-1 & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex](x-1)^2+1 & \text{für }x>2\end{array}\right.$$
Da Polynome über ganz \(\mathbb R\) stetig sind, kommen als Unstetigkeitsstellen nur die Übergänge zwischen den 3 Polynomen bei \(x=0\) und bei \(x=2\) in Betracht. Damit eine Funktion an einem Punkt \(x_0\) stetig ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert beide gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) sein. Das prüfen wir nach:
$$\lim\limits_{x\nearrow0} g(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left((x-1)^2+1\right)=(0-1)^2+1=2$$$$\lim\limits_{x\searrow0} g(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(-1\right)=-1$$$$f(0)=-1$$An der Stelle \(x=0\) ist der linksseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.
Daher ist die Funktion bei \(x=0\) unstetig.
$$\lim\limits_{x\nearrow2} g(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}\left(-1\right)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow2} g(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\left((x-1)^2+1\right)=(2-1)^2+1=2$$$$f(2)=-1$$An der Stelle \(x=2\) ist der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.
Daher ist die Funktion bei \(x=2\) unstetig.
~plot~ ((x-1)^2+1)*(x<0) + ((x-1)^2+1)*(x>2) ; (-1)*(x>0)*(x<2) ; {0|-1} ; {0|2} ; {2|-1} ; {2|2} ; [[-2|4|-2|6]] ~plot~
Die Funktionen \(h_1(x)\coloneqq [g(x)]^2\) und \(h_2(x)=xg(x)\) lauten:$$h_1(x)=\left\{\begin{array}{cl}[(x-1)^2+1]^2 & \text{für }x<0\\[1ex]+1 & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex][(x-1)^2+1]^2 & \text{für }x>2\end{array}\right.$$
$$h_2(x)=\left\{\begin{array}{cl}x(x-1)^2+x & \text{für }x<0\\[1ex]x & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex]x(x-1)^2+x & \text{für }x>2\end{array}\right.$$
Für beide Funktionen kannst du nun die Stetigkeit an den Stellen \(x=0\) und \(x=2\) genau wie oben bei der Funktion \(g(x)\) untersuchen. Wenn du dazu Hilfe brauchst, melde dich einfach nochmal hier im Thread.
