Wie Stetigkeit bzw. Unstetigkeit bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei g : IR → IR gegeben durch

$$g(x)=(x-1)²+1, |x-1|\gt1$$
$$g(x)=-1, |x-1|\leq 1$$

Problem/Ansatz:

a)Wie kann ich untersuchen, in welchen Punkten g stetig bzw. unstetig ist.
b)Wie kann ich untersuchen, in welchen Punkten h1(x) = [g(x)]2 und h2(x) = xg(x) stetig bzw.
unstetig sind.

Answer 1

Aloha :)

Das Betragszeichen ist lästig, daher überlegen wir uns, dass Folgendes gilt:$$|x-1|\le1\implies-1\le x-1\le1\stackrel{+1}{\implies}0\le x\le2$$Damit schreiben wir die Funktion $g$ etwas anders auf:$$g(x)=\left\{\begin{array}{cl}(x-1)^2+1 & \text{für }x<0\\[1ex]-1 & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex](x-1)^2+1 & \text{für }x>2\end{array}\right.$$

Da Polynome über ganz $\mathbb R$ stetig sind, kommen als Unstetigkeitsstellen nur die Übergänge zwischen den 3 Polynomen bei $x=0$ und bei $x=2$ in Betracht. Damit eine Funktion an einem Punkt $x_0$ stetig ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert beide gleich dem Funktionswert an der Stelle $x_0$ sein. Das prüfen wir nach:

$$\lim\limits_{x\nearrow0} g(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left((x-1)^2+1\right)=(0-1)^2+1=2$$$$\lim\limits_{x\searrow0} g(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(-1\right)=-1$$$$f(0)=-1$$An der Stelle $x=0$ ist der linksseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.

Daher ist die Funktion bei $x=0$ unstetig.

$$\lim\limits_{x\nearrow2} g(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}\left(-1\right)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow2} g(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\left((x-1)^2+1\right)=(2-1)^2+1=2$$$$f(2)=-1$$An der Stelle $x=2$ ist der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.

Daher ist die Funktion bei $x=2$ unstetig.

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f₁(x) = ((x-1)²+1)·(x<0)+((x-1)²+1)·(x>2)f₂(x) = (-1)·(x>0)·(x<2)P(0|-1)P(0|2)P(2|-1)P(2|2)Zoom: x(-2…4) y(-2…6)

Die Funktionen $h_1(x)\coloneqq [g(x)]^2$ und $h_2(x)=xg(x)$ lauten:$$h_1(x)=\left\{\begin{array}{cl}[(x-1)^2+1]^2 & \text{für }x<0\\[1ex]+1 & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex][(x-1)^2+1]^2 & \text{für }x>2\end{array}\right.$$

$$h_2(x)=\left\{\begin{array}{cl}x(x-1)^2+x & \text{für }x<0\\[1ex]x & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex]x(x-1)^2+x & \text{für }x>2\end{array}\right.$$

Für beide Funktionen kannst du nun die Stetigkeit an den Stellen $x=0$ und $x=2$ genau wie oben bei der Funktion $g(x)$ untersuchen. Wenn du dazu Hilfe brauchst, melde dich einfach nochmal hier im Thread.