Aloha :)
Das Betragszeichen ist lästig, daher überlegen wir uns, dass Folgendes gilt:∣x−1∣≤1⟹−1≤x−1≤1⟹+10≤x≤2Damit schreiben wir die Funktion g etwas anders auf:g(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(x−1)2+1−1(x−1)2+1fu¨r x<0fu¨r 0≤x≤2fu¨r x>2
Da Polynome über ganz R stetig sind, kommen als Unstetigkeitsstellen nur die Übergänge zwischen den 3 Polynomen bei x=0 und bei x=2 in Betracht. Damit eine Funktion an einem Punkt x0 stetig ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert beide gleich dem Funktionswert an der Stelle x0 sein. Das prüfen wir nach:
x↗0limg(x)=x↗0lim((x−1)2+1)=(0−1)2+1=2x↘0limg(x)=x↘0lim(−1)=−1f(0)=−1An der Stelle x=0 ist der linksseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.
Daher ist die Funktion bei x=0 unstetig.
x↗2limg(x)=x↗2lim(−1)=−1x↘2limg(x)=x↘2lim((x−1)2+1)=(2−1)2+1=2f(2)=−1An der Stelle x=2 ist der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.
Daher ist die Funktion bei x=2 unstetig.
Plotlux öffnen f1(x) = ((x-1)2+1)·(x<0)+((x-1)2+1)·(x>2)f2(x) = (-1)·(x>0)·(x<2)P(0|-1)P(0|2)P(2|-1)P(2|2)Zoom: x(-2…4) y(-2…6)
Die Funktionen h1(x) : =[g(x)]2 und h2(x)=xg(x) lauten:h1(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧[(x−1)2+1]2+1[(x−1)2+1]2fu¨r x<0fu¨r 0≤x≤2fu¨r x>2
h2(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x(x−1)2+xxx(x−1)2+xfu¨r x<0fu¨r 0≤x≤2fu¨r x>2
Für beide Funktionen kannst du nun die Stetigkeit an den Stellen x=0 und x=2 genau wie oben bei der Funktion g(x) untersuchen. Wenn du dazu Hilfe brauchst, melde dich einfach nochmal hier im Thread.