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Aufgabe:

Es sei g : IR → IR gegeben durch

g(x)=(x1)²+1,x1>1g(x)=(x-1)²+1, |x-1|\gt1
g(x)=1,x11g(x)=-1, |x-1|\leq 1


Problem/Ansatz:

a)Wie kann ich untersuchen, in welchen Punkten g stetig bzw. unstetig ist.
b)Wie kann ich untersuchen, in welchen Punkten h1(x) = [g(x)]2 und h2(x) = xg(x) stetig bzw.
unstetig sind.

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Aloha :)

Das Betragszeichen ist lästig, daher überlegen wir uns, dass Folgendes gilt:x11    1x11    +10x2|x-1|\le1\implies-1\le x-1\le1\stackrel{+1}{\implies}0\le x\le2Damit schreiben wir die Funktion gg etwas anders auf:g(x)={(x1)2+1fu¨x<01fu¨0x2(x1)2+1fu¨x>2g(x)=\left\{\begin{array}{cl}(x-1)^2+1 & \text{für }x<0\\[1ex]-1 & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex](x-1)^2+1 & \text{für }x>2\end{array}\right.

Da Polynome über ganz R\mathbb R stetig sind, kommen als Unstetigkeitsstellen nur die Übergänge zwischen den 3 Polynomen bei x=0x=0 und bei x=2x=2 in Betracht. Damit eine Funktion an einem Punkt x0x_0 stetig ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert beide gleich dem Funktionswert an der Stelle x0x_0 sein. Das prüfen wir nach:

limx0g(x)=limx0((x1)2+1)=(01)2+1=2\lim\limits_{x\nearrow0} g(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left((x-1)^2+1\right)=(0-1)^2+1=2limx0g(x)=limx0(1)=1\lim\limits_{x\searrow0} g(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(-1\right)=-1f(0)=1f(0)=-1An der Stelle x=0x=0 ist der linksseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.

Daher ist die Funktion bei x=0x=0 unstetig.

limx2g(x)=limx2(1)=1\lim\limits_{x\nearrow2} g(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}\left(-1\right)=-1limx2g(x)=limx2((x1)2+1)=(21)2+1=2\lim\limits_{x\searrow2} g(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\left((x-1)^2+1\right)=(2-1)^2+1=2f(2)=1f(2)=-1An der Stelle x=2x=2 ist der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich zum Funktionswert.

Daher ist die Funktion bei x=2x=2 unstetig.

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f1(x) = ((x-1)2+1)·(x<0)+((x-1)2+1)·(x>2)f2(x) = (-1)·(x>0)·(x<2)P(0|-1)P(0|2)P(2|-1)P(2|2)Zoom: x(-2…4) y(-2…6)


Die Funktionen h1(x)[g(x)]2h_1(x)\coloneqq [g(x)]^2 und h2(x)=xg(x)h_2(x)=xg(x) lauten:h1(x)={[(x1)2+1]2fu¨x<0+1fu¨0x2[(x1)2+1]2fu¨x>2h_1(x)=\left\{\begin{array}{cl}[(x-1)^2+1]^2 & \text{für }x<0\\[1ex]+1 & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex][(x-1)^2+1]^2 & \text{für }x>2\end{array}\right.

h2(x)={x(x1)2+xfu¨x<0xfu¨0x2x(x1)2+xfu¨x>2h_2(x)=\left\{\begin{array}{cl}x(x-1)^2+x & \text{für }x<0\\[1ex]x & \text{für }0\le x\le 2\\[1ex]x(x-1)^2+x & \text{für }x>2\end{array}\right.

Für beide Funktionen kannst du nun die Stetigkeit an den Stellen x=0x=0 und x=2x=2 genau wie oben bei der Funktion g(x)g(x) untersuchen. Wenn du dazu Hilfe brauchst, melde dich einfach nochmal hier im Thread.

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