Berechne x bei gegebenen a2 ; b2 ; c2 ; r?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind bei der Geometrie: a2 ; b2 ; c2 ; r

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich x ?

Comments

ich komme auf \(\displaystyle x = \frac{65 - 5  \sqrt{61}}{4}\)

(Wenn man das Minus durch ein Plus ersetzen würde, dann berührt die Hypotenuse den Kreis oben rechts anstatt unten links, aber das ist nicht die gezeichnete Aufgabe.)

Answer 1

Ich hätte als Ansatz folgende Vektorgleichung genommen:

[0, 18] + r·[1, -m] + 5/√(m^2 + 1)·[m, 1] = [10, 5]

Damit komme ich auf folgende Lösung:

m = 2·√61/15 + 26/15 ≈ 2.775 ∧ r = 2440/269 - 130·√61/269 ≈ 5.296

Das x jetzt zu berechnen sollte nicht weiter schwer sein oder?

Ich komme dabei auf:

x = 65/4 - 5·√61/4 ≈ 6.487

Das sieht eigentlich recht gut aus, denke ich. Die Gleichungen habe ich mittels CAS/MMS gelöst. Darfst du solche Hilfsmittel hierbei nutzen?

Comments

Hier noch ein viel einfacher Ansatz

|([x, 0] - [0, 18]) ⨯ ([10, 5] - [0, 18])| / |[x, 0] - [0, 18]| = 5

Das Kreuzprodukt berechnet im zweidimensionalen die Determinante

[a, b] ⨯ [c, d] = a·d - b·c

Der Betrag vom Kreuzprodukt ist dabei die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Hier ist die Lösung direkt

x = (65 - 5·√61)/4 ≈ 6.487

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Ah ja ich seh schon komplizierter. Ich bin ein Ü60.
Vektorrechnungen hatte ich nicht. Da muß ich passen.
Ich danke für deine Bemühungen.
Habe aber jetzt eine einfachere Berechnung gefunden.
Dein Ergebnis stimmt auf jeden Fall.

Answer 2

Gegeben sind bei der Geometrie: \(a_2=10\) ; \(b_2=18\) ; \(c_2=5\) ; \(r=5\)  Berechne \(x\)

Bild zur Berechnung von \(x\):

Der Zeichnung ist zu entnehmen, dass die grüne Gerade Tangente an den blauen Kreis ist. Somit lässt sich diese auch berechnen. Die Nullstelle der so gefundenen Tangentengleichung ist dann das gesuchte \(x\).

Comments

Die Nullstelle ist dann das gesuchte \(x\).

Die Nullstelle von was?

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Danke! Ich habe es verbessert.

Answer 3

Ich ergänze mal noch eine etwas trigonometriebasierte Lösung.

Setze dazu \(z = 10-x\). Damit erhalten wir: $$\frac{10-z}{18} = \tan \alpha$$

Jetzt schauen wir uns das Drachenviereck an, dass aus den zwei Radien und den zwei Tangentenstücken der Länge \(z\) gebildet wird. Nach längerem oder kürzerem Hinschauen erhalten wir: $$\frac z5 = \tan \left(45° - \frac{\alpha}2 \right)$$

Nun setzen wir, um Schreibarbeit zu sparen, noch $$t = \tan \frac{\alpha}2$$

Die Additionsregel für den Tangens liefert uns dann die folgenden beiden Gleichungen:
$$10-z = 18\cdot\frac{2t}{1-t^2},\: z= 5\cdot\frac{1-t}{1+t}$$

Z. Bps. mit WolframAlpha erhältst du dann: \(z = \frac 54\left(\sqrt{61}-5\right)\) (Link zur Rechnung)

Damit bekommen wir: \(x = 10-z = \frac 54\left(13 - \sqrt{61}\right)\)

Answer 4

Vektorrechnungen hatte ich nicht.

Es geht auch komplizierter:

Wenn beim rechten Winkel der Ursprung des Koordinatensystems (mit horizontaler Achse a und vertikaler Achse b) ist, dann hat der Kreis die Gleichung

(a-10)² + (b-5)² = 5²

und die Hypotenuse die Gleichung

b = -18/x * a + 18

Wenn man den Berührpunkt (oder die Schnittpunkte) der beiden haben will, dann löst man dieses Gleichungssystem beispielsweise nach a auf und erhält

\(\displaystyle a=\frac{2\left(-\frac{3 \sqrt{-4 x^{2}+130 x-675}}{x}+\frac{117}{x}+5\right)}{\frac{324}{x^{2}}+1} \)

\(\displaystyle a=\frac{2\left(\frac{3 \sqrt{-4 x^{2}+130 x-675}}{x}+\frac{117}{x}+5\right)}{\frac{324}{x^{2}}+1} \)

Da es zwei Schnittpunkte geben kann aber nur einen Berührpunkt, müssen die beiden Lösungen gleich sein, und das sind sie genau dann, wenn der Wurzelausdruck gleich Null ist, weil dann das Vorzeichen vor dem Bruch keinen Einfluss mehr hat.

\(-4x^2+130x-675=0\)    hat die Lösungen

\(\displaystyle x_{\text{1,2}}=\frac{65 \mp 5 \sqrt{61}}{4} \)

wobei der Wert mit dem Minus die gesuchte Lösung ist und der Wert mit dem Plus, wie in meinem Kommentar unter der Frage erwähnt, die Tangente an die andere Kreisseite ergeben würde...