Berechnen Sie je eine reelle partikuläre Lösung der folgenden Differentialgleichungen:

Question

Aufgabe:

Ist meine a richtig?

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). Berechnen Sie je eine reelle partikuläre Lösung der folgenden Differentialgleichungen:
(a) \( y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=2 \sin x-7 \cos x \)
(b) \( y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=e^{-x} \cos (2 x) \)
(c) \( y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=x-e^{-x} \cos (2 x)-10 \sin x+35 \cos x \)

Hinweis zu (b): komplexe Dgl.

Text erkannt:

a.) \( y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=2 \sin x-7 \cos x \)
\( \begin{array}{l} y_{p}(x)=A \sin (x)+B \cos (x) \\ y_{p}^{\prime}(x)=A \cos (x)-B \sin (x) \\ y_{p}^{\prime \prime}(x)=-A \sin (x)-B \cos (x) \end{array} \)
in die DGL einsetren:
\( \begin{aligned} & -A \sin (x)-B \cos (x)+3(A \cos (x)-B \sin (x))+A \sin (x)+B \cos (x) \\ = & -A \sin (x)-B \cos (x)+3 A \cos (x)-3 B \sin (x)+A \sin (x)+B \cos (x) \\ = & 3 A \cos (x)-3 B \sin (x) \end{aligned} \)

Koeffizientenvergleich:
\( \begin{aligned} 3 A & =-7 \mid: 3 \\ A & =-\frac{7}{3} \\ -3 B & =2 \quad \mid:(-3) \\ B & =-\frac{2}{3} \end{aligned} \)
allgemeine föring: \( -\frac{7}{3} \cos (x)-\frac{2}{3} \sin (x) \)

Comments

Warum machst Du nicht einfach die Probe und setzt Dein Ergebnis in die Dgl ein?

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Was soll ich einsetzen?

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Wenn du vor deine allgemeine Lösung \(y(x)=\) schreiben würdest, dann solltest du sehen können, was man in die DGL einsetzen kann.

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Ja egal dann, verstehe nix

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Weißt Du denn überhaupt, was Du tust? Du sollst eine Lösung einer Gleichung bestimmen, also wie kannst Du Dein Ergebnis prüfen?

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Verstehe die partikuläre Lösung garnicht

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Eine partikuläre Lösung ist insb. eine Lösung. Also prüfe, ob Deine eine Lösung ist. Ob es eine partikuläre ist, wie gewünscht, klären wir danach. Also los.

Answer 1

Sei \(y(x)=-\frac{7}{3}\cos x-\frac{2}{3}\sin x\)

Prüfe ob

      \( y{''}(x)+3 y{'}(x)+y(x)=2 \sin x-7 \cos x \)

ist.

Answer 2

Dein Ansatz war

y = a·sin(x) + b·cos(x)

und der Koeffizientenvergleich ergab

a = - 7/3 ; b = - 2/3

Sollte dann nicht die partikuläre Lösung

y = - 7/3·sin(x) - 2/3·cos(x)

sein?

Dieses ist keine allgemeine Lösung, sondern nur eine Teillösung, weil dort Integrationskonstanten unberücksichtigt bleiben.

Eine Probe macht man, indem man die Funktion ableitet und in die Differenzialgleichung einsetzt.

y = - 7/3·sin(x) - 2/3·cos(x)
y' = - 7/3·cos(x) + 2/3·sin(x)
y'' = 7/3·sin(x) + 2/3·cos(x)

Einsetzen

y'' + 3·y' + y = 2·sin(x) - 7·cos(x)
(7/3·sin(x) + 2/3·cos(x)) + 3·(- 7/3·cos(x) + 2/3·sin(x)) + (- 7/3·sin(x) - 2/3·cos(x)) = 2·sin(x) - 7·cos(x)
2·sin(x) - 7·cos(x) = 2·sin(x) - 7·cos(x)

Probe passt.

Comments

Vielen lieben Dank!

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MCs Begriffe solltest du nicht einfach so übernehmen.