Wahrscheinlichkeitsrechnung - Biathlon - Binomialverteilung

Question

Aufgabe:

Beim Biathlon-Sprint gebt es zwei Schießeinlagen. Nach einer Laufrunde wird zunächst fünfmal liegend geschossen. Nach einer weiteren Laufrunde müssen im stehenden Anschlag fünf Ziele getroffen werden. Für jede nicht getroffene Scheibe muss man eine Strafrunde laufen.
Franziska hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 90 %, im Stehendschießen trifft sie die Scheibe bei 80 % aller Schüsse.

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass Franziska alle zehn Scheiben trifft beträgt p=0,19. Berechnen Sie, wie viele Rennen Franziska mindestens bestreiten muss, damit die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Schießen bei mindestens 95 % liegt.

b) Wenn man bei einem Staffelrennen mit den ersten fünf Schüssen nicht alle Scheiben getroffen hat, erhält man bis zu drei sogenannte Nachlader, um die noch übrigen Scheiben zu treffen. Erst wenn man dann nicht getroffen hat, muss eine Strafrunde gelaufen werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Franziska im Stehendanschlag zwei Nachlager benötigt, um alle Scheiben zu treffen.

Problem/Ansatz:

a) P(Z≥1)≥0,95

1-P(Z=0)≥0,95

P(Z=0)≤0,05

Binomialverteilt mit p=0,19 ergibt sich mit dem Taschenrechner n=15.

b) B5;0,9(X=5)•B7;0,8(X=7)=0,59049•0,2097152=0,123834728≈12,38 %

Kann mir jemand sagen, ob meine Rechnungen so stimmen?

Comments

zu a) Mit dem genaueren Wert \(p=0.72^5\) bekomme ich \(n=14\) heraus.

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b) erscheint mir nicht korrekt. Überleg Dir mal die Fälle, die vorkommen müssen/können.

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zu a) für n=14 zeigt es mir die Wahrscheinlichkeit von 0,05233 an, was ja größer als 0,05 ist

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Zu b) fällt mir sonst höchstens noch das ein

B_5;0,9(X=5)•B_5;0,8(X=3)•B_3;0,8(X=2)

Falls das auch nicht richtig ist, kannst du mir einen Tipp geben?

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Es soll genau zwei Nachlader geben, entweder wurde also mit den ersten 5 Schüssen genau drei mal getroffen und dann treffen jeweils beide Nachschüsse oder aber es wurde genau 4 mal getroffen und für die letzte Scheibe wurden zwei Schüsse benötigt.

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Ok geht es dann so?

B_5;0,9(X=5)•B_5;0,8(X=3)•B_2;0,8(X=2)+B_5;0,9(X=5)•B_5;0,8(X=4)•B1_;0,8(X=1)•B_1;0,8(X=1)

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Rechne die Wahrscheinlichkeit dafür aus, aus 5 Schüssen drei Treffer zu erhalten. Dann die Wahrscheinlichkeit mit 2 Schüssen 2 Treffer. Bedes muß eintreten (UND). Das war der erste Fall.

Dasselbe mit 5 Schüssen und 4 Treffern und dann einmal nicht treffen und einmal treffen. (UND).

Danach die Summe (ODER).

Es geht nur um 5 Schüsse stehend.

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B_5;0,8(X=3)•B_2;0,8(X=2)+B_5;0,8(X=4)•B_1;0,8(X=1)•B_1;0,2(X=1)=0,2048•0,64+0,4096•0,8•0,2=0,196608

So?

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Yes, Sir!

Ganz pedantisch gesehen müßte es …0.2*0.8 heißen (Reihenfolge erst Niete dann Treffer), aber das ändert in diesem Falle nichts am Ergebnis.

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Mega danke!!!

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So?

Das ist richtig, von der Rechnung geht es noch etwas eleganter.

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zu a) für n=14 zeigt es mir die Wahrscheinlichkeit von 0,05233 an, was ja größer als 0,05 ist

Ja, ich weiß. Das liegt daran, dass die angegebene Trefferwahrscheinlichkeit  \(p=0.19\) gegenüber dem genauen Wert \({p=0.72^5 = 0.1934917632}\) ziemlich stark gerundet ist. Wenn man Zwischenergebnisse vor dem Weiterrechnen auf die Genaigkeit der gegebenen Werte rundet, läuft man schnell Gefahr, den Ergebnissen nicht mehr trauen zu können.

Answer 1

a) ist soweit korrekt, wenn man mit p = 0.19 rechnet. Allerdings ist dieser Wert nur näherungsweise und nicht korrekt angegeben.

b) ist falsch. Es geht nur um die 5 Scheiben, die stehend geschossen werden. Dafür benötigt sie 2 Nachlader, also 7 Schüsse. D.h. der siebte Schuss trifft garantiert. Von den ersten 6 Schüssen wurden allerdings nur 4 Scheiben getroffen.

(6 über 4)·0.8^4·0.2^2·0.8 = 3072/15625 ≈ 0.1966