Wie löst man Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Hochzahlen auf?

Question

Aufgabe:

a) \( \displaystyle 120^{1/2} \cdot 900^{1/4} =60 \)

b) \( \displaystyle 4^{1/3} \cdot 2^{1/3} \cdot 16^{1/4} =4 \)

Problem/Ansatz:

a) Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Ich kann weder das erste oder zweite Potenzgesetz anwenden.

1. \( a^{m} \) *\( a^{n} \) =\( a^{m+n} \)

2. \( a^{m} \) *\( b^{m} \) =(a*b)\( ^{m} \)

b) Habe ich für 4\( ^{\frac{1}{3}} \)*2\( ^{\frac{1}{3}} \)das zweite Potenzgesetz angewandt und habe 8\( ^{\frac{1}{3}} \) *16\( ^{\frac{1}{4}} \) bekommen. Dann habe ich in die Wurzelschreibweise umgeformt, \( \sqrt[3]{8} \)*\( \sqrt[4]{16} \) . Hier wäre dann meine Frage, wie man am besten weiter vorgeht, denn ich habe nämlich durch Knobeln meine Antwort bekommen:

\( \sqrt[3]{8} \)=x

\( x^{3} \) =8

8=2*4

8=2*2*2

8=2\( ^{3} \)

x=2

Gäbe es hier eine schnellere Vorgehensweise?

Comments

nähmlich

Wenn die Moderation schon Schreibfehler korrigiert, warum nicht vollständig?

Answer 1

zu a) Man kann die Beziehung $$900=\left(30^2\right)$$verwenden.

Comments

zu b): Das kann man so machen und dann mit $$8=2^3$$ und $$16=2^4$$ weiter machen. Die Potenzen \(a^b\) mit kleinen natürlichen Zahlen für \(a\) und \(b\) dürfen als bekannt vorausgesetzt werden.

Answer 2

Nummerierte Potenzgesetze anwenden zu wollen tönt ja irgendwie löblich. Es gibt Leute, ich gehöre dazu, die vergessen die Nummern immer. Dann kann man stattdessen einfach ausrechnen. Bei dieser Aufgabe geht das sogar ohne Taschenrechner.

a)

\( \displaystyle 120^{1/2} \cdot 900^{1/4} \)

\( \displaystyle = 120^{1/2} \cdot 30^{1/2} \)

\( \displaystyle = 3600^{1/2} \)

\( \displaystyle = 60 \)

b)

\( \displaystyle 4^{1/3} \cdot 2^{1/3} \cdot 16^{1/4} \)

\( \displaystyle = 8^{1/3} \cdot 4^{1/2} \)

\( \displaystyle = 2 \cdot 2 \)

\( \displaystyle = 4 \)

Comments

Bei dieser Aufgabe geht das sogar ohne Taschenrechner.

Sollte man 8^1/3  im Kopf rechnen können?

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Nicht direkt, aber es ist hilfreich zu wissen das 2³ = 8 ist und das gebrochene Exponenten Wurzeln bedeuten.

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Sollte man 8^{1/3}  im Kopf rechnen können?

Ja. Das ist die dritte Wurzel aus 8. Und da du weißt das 2^3 = 8 gilt. Ist die dritte Wurzel aus 8 einfach 2.

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Das ist die dritte Wurzel aus 8

Um ehrlich zu sein, wusste ich das nicht, und was

gebrochene Exponenten

sind noch weniger, liegt wohl an mir danke euch.