Ob das für dich intuitiv ist, kann ich nur erraten, aber für mich ist es das direkteste Argument und braucht keine Atombomben wie die Jordan-Normalform.
Sagen wir mal wir hätten ein \(f:K^n\to K^n\) und ein \(\lambda\) mit geometrischer Vielfachheit \(k>0\). Wir wollen zeigen, dass die algebraische Vielfachheit auch mindestens \(k\) ist.
Wir nehmen uns eine Basis \(v_1,\ldots,v_k\) des Eigenraums \(E_\lambda\) von \(\lambda\) und erweitern ihn zu einer Basis \(\mathscr{B}=\{v_1,\ldots,v_k,b_1,\ldots,b_{n-k}\}\).
Die darstellende Matrix von \(f\) in Basis \(\mathscr{B}\) können wir wenigstens ein bisschen beschreiben:
\(M_\mathscr{B}^f=\begin{pmatrix}\lambda1_k &C \\ 0 &A\end{pmatrix}\), wobei \(C\) ziemlich beliebig aussehen kann, aber \(A\) ist die Darstellende Matrix von \(f_{\downharpoonright }:K^n/E_\lambda \to K^n/E_\lambda\) in Basis \(\mathscr{B}_{\downharpoonright}=\{[b_1],\ldots,[b_{n-k}]\}\). Das brauchen wir hier nicht mal, aber ist gut zu wissen.
Jetzt können wir die charakteristischen Polynome dieser beiden Abbildungen in Verbindung bringen:
\(\mathrm{char}(f) = \mathrm{det}(M_\mathscr{B}^f-X\cdot 1_n) \\= \mathrm{det}\begin{pmatrix}(\lambda-X)1_k &C \\ 0 &A-X\cdot1_{n-k}\end{pmatrix} \\= (\lambda-X)^k\cdot \mathrm{det}(A-X\cdot1_{n-k})\\ =(\lambda-X)^k\cdot\mathrm{char}(f_\downharpoonright).\)
Klar ausgedrückt: \(\frac{\mathrm{char}(f)}{(\lambda-X)^k}\) ist ein Polynom in \(X\) mit Koeffizienten in \(K\).
Insgesamt ist also \(\mathrm{char}(f)\) mindestens \(k\) Mal durch \((\lambda-X)\) teilbar und besitzt damit algebraische Vielfachheit mindestens \(k\).
