Aloha :)
Du betrachtest die Verknüpfung$$f\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N\;;\;f(a;b)=a^b$$
Ein neutrales Element \(e\in\mathbb N\) darf den Wert eines anderen Elementes durch die Verknüpfung nicht ändern. Es muss also zwei Bedingungen erfüllen:$$f(a;e)=a^e\stackrel!=a\quad\text{und}\quad f(e;b)=e^b\stackrel!=b\quad\text{für }a,b\in\mathbb N$$
Die erste Bedingung wird für alle \(a\in\mathbb N\) nur durch \(e=1\) erfüllt, denn \(a^1=a\).
Die zweite Bedingung wird mit \(e=1\) aber nicht für alle \(b\in\mathbb N\) erfüllt, wie du mit \(b=2\) schnell erkennst, denn \(1^2=1\ne2\).
Die Verküpfung hat also kein neutrales Element.
Die Vernküpfung ist auch nicht kommutativ und nicht assoziativ, wie du leicht durch Gegenbeispiele zeigen kannst.
