Wie löse ich dieses Gleichungssystem effizient

Question

Aufgabe:

Wie löse ich dieses Gleichungssystem effizient

Problem/Ansatz:

w1 + w2 = 2

w1x1 + w2 = 0

w1x1²+ w2 = 2/3

Mir ist bewusst dass wenn man den richtigen Trick sieht das schnell lösen kann, ich zweifel jedoch daran dass ich in den 5 Minuten der Klausur drauf komme.

Comments

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Ein bisschen unorthodoxe Bezeichnungen.

Meinst Du

I) w₁ + w₂ = 2

II) w_1*x₁ + w₂ = 0

III) w_1* (x₁)² + w₂ = \( \frac{2}{3} \)

Wenn ja, dann z.B. aus II) x₁ berechnen, in III) einsetzen und dann dort I) verwenden.

Zur Kontrolle:

\( w_{1}=\frac{3}{2}, \quad w_{2}=\frac{1}{2}, \quad x_{1}=-\frac{1}{3} \)

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Du kennst aus der Mittelstufe das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.

Aufbauend auf dem Additionsverfahren lernt man später noch das Divisionsverfahren (was zumindest ich so nenne) kennen.

Mit diesen Verfahren kommst du hier recht schnell zum Ziel.

Warum werden die Unbekannten w1, w2 und x1 bezeichnet. Wenn dich das verwirrt, dann führe erstmal eine Umbenennung durch.

a + b = 2
a·x + b = 0
a·x^2 + b = 2/3

II - I ; III - II

a·(x - 1) = -2
x·a·(x - 1) = 2/3

II / I

x = - 1/3

Jetzt x einsetzen

a·(- 1/3 - 1) = -2 → a = 3/2

Und a einsetzen

3/2 + b = 2 → b = 1/2

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Die Bezeichnungen sind Standardbezeichnungen bei der Bestimmung von Gaußschen Quadraturformeln. Hier: \(Qf=w_1f(x_1)+w_2f(x_2)\), mit Zusatzbedingung \(x_2=1\), soll exakt sein auf \([-1,1]\) für Polynome möglichst hohen Grades, was auf obige Gleichungen führt.

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Mir ist bewusst dass wenn man den richtigen Trick sieht das schnell lösen kann, ich zweifel jedoch daran dass ich in den 5 Minuten der Klausur drauf komme.

Es gibt hier keinen bestimmten Trick. Jemand, der halbwegs ordentlich rechnen kann (Gleichungen addieren, Einsetzungsverfahren, etc.), bekommt das auch in der Zeit hin. Vielleicht sollte man einfach mal anfangen, so etwas zu rechnen. Diese Zeiten erreicht man dann auch mit regelmäßiger und vor allem selbstständiger Übung. In der Mathematik geht es eben auch viel um Routine, insbesondere bei der Anwendung der grundlegenden Rechenverfahren. Allerdings wurde ja bereits wieder jeder Lerneffekt zunichte gemacht.

Auch sollte man in der Lage sein, so etwas unabhängig von der Benennung der Variablen lösen zu können.